Алгебра · Понятно и по шагам

Как решать дробно-рациональные уравнения

Учимся выбирать общий знаменатель, сокращать дроби и решать полученное уравнение. Особое внимание — произведениям, которые можно упростить до вычисления больших чисел.

1. План решения: ограничения прежде всего

Дробно-рациональным называют рациональное уравнение, в котором неизвестная входит в знаменатель. Например, \frac{3}{x-2}=1. При x=2 левая часть не определена.

Выпишите ОДЗ. Каждый исходный знаменатель должен отличаться от нуля.
Приведите каждую часть к одной дроби. Общие знаменатели слева и справа выбираем отдельно. При необходимости разложите их на множители.
Перемножьте накрест. На ОДЗ знаменатели ненулевые, поэтому можно приравнять произведения числителя одной дроби и знаменателя другой.
Решите полученное уравнение. Ищите общий множитель, группировку или замену, прежде чем раскрывать скобки.
Отберите корни по ОДЗ. Подставьте оставшиеся числа в исходное уравнение для проверки.

Сокращение не отменяет ОДЗ. Дробь \frac{(x-2)(x+3)}{x-2} равна x+3 только при x\ne2. Сокращать можно множители всего числителя и знаменателя. В сумме \frac{x+3}{x} сокращать отдельные слагаемые нельзя.

Пример 1

Дробь равна нулю

\frac{(x-4)(x+2)}{x-4}=0

Решение и ответ

ОДЗ. x\ne4.

Умножаем обе части на x − 4. На ОДЗ этот множитель не равен нулю.

\frac{(x-4)(x+2)}{x-4}\cdot(x-4)=0\cdot(x-4).

Слева сокращаем знаменатель x − 4, справа произведение равно нулю.

(x-4)(x+2)=0.

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю: x = 4 или x = −2. Число 4 запрещено исходным знаменателем, а −2 входит в ОДЗ.

Ответ: x=-2.

2. Общий способ: две дроби и умножение накрест

Сначала работаем отдельно с левой и правой частями. В каждой части складываем дроби и числа так, чтобы осталась одна дробь. Затем получаем пропорцию и перемножаем накрест.

Как это выглядит в общем виде

\frac{A(x)}{B(x)}+C(x)=\frac{D(x)}{E(x)}.

Исходные ограничения: B(x)\ne0 и E(x)\ne0. Чтобы сложить дробь и выражение без знаменателя, представляем последнее как дробь со знаменателем 1, затем домножаем её на B(x):

C(x)=\frac{C(x)}1=\frac{C(x)B(x)}{B(x)}.

Слева складываем числители, сохраняя общий знаменатель. Правая часть уже является одной дробью:

\frac{A(x)+C(x)B(x)}{B(x)}=\frac{D(x)}{E(x)}.

Теперь числитель слева умножаем на знаменатель справа, а числитель справа на знаменатель слева:

\bigl(A(x)+C(x)B(x)\bigr)E(x)=D(x)B(x).

Правило для двух дробей: \frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{R(x)}{T(x)} равносильно P(x)T(x)=R(x)Q(x) при Q(x)\ne0 и T(x)\ne0. Это тот же результат, что и умножение обеих частей на произведение знаменателей. Отдельное приведение каждой части к дроби помогает видеть, какие выражения нужно перемножить.

Пример 2

Слева дробь плюс число, справа дробь

\frac3x+1=\frac{10}{x+2}

Решение и ответ

ОДЗ. x\ne0,\;-2.

Левая часть. Общий знаменатель: x. Представляем единицу как x/x:

\frac3x+1=\frac3x+\frac xx=\frac{3+x}{x}.

Правая часть. Здесь уже одна дробь, ничего преобразовывать не нужно. Получаем

\frac{x+3}{x}=\frac{10}{x+2}.

Перемножаем накрест. Числитель x + 3 слева умножаем на знаменатель x + 2 справа. Числитель 10 справа умножаем на знаменатель x слева:

(x+3)(x+2)=10x.

Важно сохранить весь числитель x + 3 в скобках. Раскрываем произведение и переносим всё влево:

x^2+5x+6=10x.x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0.

Оба значения входят в ОДЗ. Проверка: при x = 2 обе части равны 5/2, при x = 3 обе части равны 2.

Ответ: x=2,\;3.

Пример 3

В обеих частях есть дробь и число

\frac4{x-1}+1=\frac9{x+1}+2

Решение и ответ

ОДЗ. x\ne1,\;-1.

Левая часть. Общий знаменатель: x − 1.

\frac4{x-1}+1=\frac{4+(x-1)}{x-1}=\frac{x+3}{x-1}.

Правая часть. Общий знаменатель: x + 1. Чтобы записать 2 с этим знаменателем, умножаем её числитель и знаменатель на x + 1:

2=\frac21=\frac{2(x+1)}{x+1}.\frac9{x+1}+2=\frac{9+2(x+1)}{x+1}=\frac{2x+11}{x+1}.

Получили ровно две дроби:

\frac{x+3}{x-1}=\frac{2x+11}{x+1}.

Перемножаем накрест. В каждом произведении сохраняем скобки вокруг всего числителя и знаменателя:

(x+3)(x+1)=(2x+11)(x-1).x^2+4x+3=2x^2+9x-11.x^2+5x-14=(x-2)(x+7)=0.

Оба корня входят в ОДЗ. Проверка: при x = 2 обе части равны 5, при x = −7 обе части равны 1/2.

Ответ: x=-7,\;2.

3. Разложение на множители — главный инструмент

Цель разложения — превратить сумму в произведение. Тогда можно сокращать дроби, находить общий знаменатель и применять правило нулевого произведения.

Приём	Пример
Общий множитель	6x^2-18x=6x(x-3)
Разность квадратов	x^2-25=(x-5)(x+5)
Квадрат суммы или разности	x^2-10x+25=(x-5)^2
По сумме и произведению	x^2-x-12=(x-4)(x+3)
Группировка	x^3-2x^2-9x+18=(x-2)(x^2-9)

Для x^2+px+q ищем числа m,n с суммой p и произведением q. Тогда получаем (x+m)(x+n). В примере выше это −4 и 3. Если подбор неудобен, найдите корни квадратного трёхчлена: ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2).

Пример 4

Разность квадратов в числителе

\frac{x^2-9}{x^2-x-6}=0

Решение и ответ

ОДЗ. x\ne3,\;-2.

\frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x+2)}=0.

Умножаем обе части на (x − 3)(x + 2), ненулевое на ОДЗ:

\frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x+2)}\cdot(x-3)(x+2)=0.

Знаменатель сокращается целиком. Остаётся

(x-3)(x+3)=0.

Получаем 3 и −3. Корень 3 не входит в ОДЗ, а −3 входит.

Ответ: x=-3.

Пример 5

Группировка вместо кубического уравнения

\frac{x^3-2x^2-9x+18}{x-1}=0

Решение и ответ

ОДЗ. x\ne1.

Умножаем обе части на x − 1. Слева знаменатель сокращается, а справа 0 · (x − 1) = 0:

x^3-2x^2-9x+18=0.

Группируем слагаемые:

x^2(x-2)-9(x-2)=0.(x-2)(x^2-9)=(x-2)(x-3)(x+3)=0.

Приравниваем каждый множитель к нулю. Все три значения допустимы.

Ответ: x=-3,\;2,\;3.

4. Практика избавления от знаменателей

В каждом примере сначала приводим левую и правую части к отдельным дробям, затем перемножаем накрест. Если часть уравнения является числом, записываем это число со знаменателем 1. Если в ней уже одна дробь, её можно оставить без изменений.

Перед преобразованиями выписываем ОДЗ по исходным знаменателям. Когда получены две дроби, их знаменатели должны оставаться ненулевыми. После умножения накрест продолжаем учитывать все исходные ограничения.

Пример 6

Один знаменатель

\frac{3}{x-2}=1

Решение и ответ

ОДЗ. x\ne2.

Слева уже одна дробь. Справа записываем число со знаменателем 1:

\frac3{x-2}=\frac11.

Перемножаем накрест: числитель 3 умножаем на знаменатель 1, а числитель 1 на знаменатель x − 2.

3\cdot1=1\cdot(x-2).3=x-2\quad\Rightarrow\quad x=5.

Проверка: 3/(5-2)=1.

Ответ: x=5.

Пример 7

Числовой знаменатель тоже учитываем

\frac{x+1}{x-2}=\frac32

Решение и ответ

ОДЗ. x\ne2.

Каждая часть уже является одной дробью. Перемножаем накрест: весь числитель x + 1 умножаем на знаменатель 2, а числитель 3 на знаменатель x − 2.

(x+1)\cdot2=3\cdot(x-2).

Раскрываем скобки:

2x+2=3x-6\quad\Rightarrow\quad x=8.

Проверка: 9/6=3/2.

Ответ: x=8.

Пример 8

Противоположные знаменатели

\frac5{x-1}+\frac3{1-x}=1

Решение и ответ

ОДЗ. x\ne1.

Замечаем: 1-x=-(x-1). Приводим знаменатели слева к одинаковому виду:

\frac5{x-1}-\frac3{x-1}=1.

Общий знаменатель слева: x − 1. Складываем числители с учётом знака минус. Справа записываем 1/1:

\frac{5-3}{x-1}=\frac11.

Перемножаем накрест, сохраняя весь числитель слева:

(5-3)\cdot1=1\cdot(x-1).2=x-1\quad\Rightarrow\quad x=3.

Ответ: x=3.

Пример 9

Разность дробей со знаменателями x и x + 4

\frac{96}{x}-\frac{96}{x+4}=2

Решение и ответ

ОДЗ. x\ne0,\;-4.

Приводим левую часть к одной дроби. Общий знаменатель: (x)(x+4). Первую дробь домножаем в числителе и знаменателе на x+4, вторую на x:

\frac{96}{x}=\frac{96(x+4)}{(x)(x+4)}.\frac{96}{x+4}=\frac{96(x)}{(x)(x+4)}.

Собираем левую часть в одну дробь. Правую часть записываем со знаменателем 1:

\frac{96(x+4)-96(x)}{(x)(x+4)}=\frac{2}{1}.

Перемножаем накрест. Числитель слева умножаем на знаменатель справа, а числитель справа на знаменатель слева. По ОДЗ оба знаменателя ненулевые:

\bigl(96(x+4)-96(x)\bigr)\cdot1=2\cdot(x)(x+4).

Убираем умножение на 1. Получаем уравнение без знаменателей:

96(x+4)-96(x)=2(x)(x+4).

Выносим общий множитель 96 за скобки:

96\bigl((x+4)-x\bigr)=2x(x+4).96\cdot4=2x(x+4).

Делим на 2, затем раскрываем скобки:

x(x+4)=192\Rightarrow x^2+4x-192=0.(x-12)(x+16)=0.

Оба найденных числа входят в ОДЗ.

Ответ: x=-16,\;12.

Пример 10

Разность дробей со знаменателями x − 3 и x + 3

\frac{160}{x-3}-\frac{160}{x+3}=6

Решение и ответ

ОДЗ. x\ne3,\;-3.

Приводим левую часть к одной дроби. Общий знаменатель: (x-3)(x+3). Первую дробь домножаем в числителе и знаменателе на x+3, вторую на x-3:

\frac{160}{x-3}=\frac{160(x+3)}{(x-3)(x+3)}.\frac{160}{x+3}=\frac{160(x-3)}{(x-3)(x+3)}.

Собираем левую часть в одну дробь. Правую часть записываем со знаменателем 1:

\frac{160(x+3)-160(x-3)}{(x-3)(x+3)}=\frac{6}{1}.

\bigl(160(x+3)-160(x-3)\bigr)\cdot1=6\cdot(x-3)(x+3).

Убираем умножение на 1. Получаем уравнение без знаменателей:

160(x+3)-160(x-3)=6(x-3)(x+3).

Слева выносим 160, справа применяем разность квадратов:

160\bigl((x+3)-(x-3)\bigr)=6(x^2-9).

При раскрытии внутренней скобки −(x − 3) получаем −x + 3, поэтому разность равна 6.

160\cdot6=6(x^2-9).160=x^2-9\Rightarrow x^2=169.

Корни ±13 допустимы.

Ответ: x=-13,\;13.

Пример 11

Равенство двух дробей

\frac{150}{25+x}=\frac{100}{25-x}

Решение и ответ

ОДЗ. x\ne-25,\;25.

Слева и справа уже стоят по одной дроби. Приводить их к одному знаменателю между собой не требуется. Перемножаем накрест: числитель 150 умножаем на знаменатель 25 − x, а числитель 100 на знаменатель 25 + x.

150(25-x)=100(25+x).

Делим обе части на 50 до раскрытия скобок:

3(25-x)=2(25+x).75-3x=50+2x\Rightarrow 25=5x\Rightarrow x=5.

Ответ: x=5.

5. Большие коэффициенты: сохраняйте произведения

В исходном уравнении коэффициенты записаны обычными числами. Большие произведения появляются после приведения к общему знаменателю и умножения накрест. Сохраняйте их как произведения: сначала объедините похожие слагаемые и сократите общий числовой множитель.

Пример 12

Сокращаем произведение 210 · 7

\frac{210}{x}-\frac{210}{x+7}=5

Решение и ответ

ОДЗ. x\ne0,\;-7.

Приводим левую часть к одной дроби. Общий знаменатель: (x)(x+7). Первую дробь домножаем в числителе и знаменателе на x+7, вторую на x:

\frac{210}{x}=\frac{210(x+7)}{(x)(x+7)}.\frac{210}{x+7}=\frac{210(x)}{(x)(x+7)}.

Собираем левую часть в одну дробь. Правую часть записываем со знаменателем 1:

\frac{210(x+7)-210(x)}{(x)(x+7)}=\frac{5}{1}.

\bigl(210(x+7)-210(x)\bigr)\cdot1=5\cdot(x)(x+7).

Убираем умножение на 1. Получаем уравнение без знаменателей:

210(x+7)-210(x)=5(x)(x+7).

Не раскрываем каждую скобку отдельно. Выносим 210:

210\bigl((x+7)-x\bigr)=5x(x+7).210\cdot7=5x(x+7).

Не вычисляем 210 · 7: сначала делим 210 на 5.

x(x+7)=\frac{210}{5}\cdot7=42\cdot7=294.x^2+7x-294=(x-14)(x+21)=0.

Оба корня входят в ОДЗ.

Ответ: x=-21,\;14.

Пример 13

Общий множитель появляется после сокращения дробей

\frac{180}{x-4}-\frac{180}{x+4}=8

Решение и ответ

ОДЗ. x\ne4,\;-4.

Приводим левую часть к одной дроби. Общий знаменатель: (x-4)(x+4). Первую дробь домножаем в числителе и знаменателе на x+4, вторую на x-4:

\frac{180}{x-4}=\frac{180(x+4)}{(x-4)(x+4)}.\frac{180}{x+4}=\frac{180(x-4)}{(x-4)(x+4)}.

Собираем левую часть в одну дробь. Правую часть записываем со знаменателем 1:

\frac{180(x+4)-180(x-4)}{(x-4)(x+4)}=\frac{8}{1}.

\bigl(180(x+4)-180(x-4)\bigr)\cdot1=8\cdot(x-4)(x+4).

Убираем умножение на 1. Получаем уравнение без знаменателей:

180(x+4)-180(x-4)=8(x-4)(x+4).180\bigl((x+4)-(x-4)\bigr)=8(x^2-16).180\cdot8=8(x^2-16).

Сокращаем обе части на 8, не вычисляя произведение 180 · 8.

180=x^2-16\Rightarrow x^2=196.

Оба корня допустимы.

Ответ: x=-14,\;14.

Пример 14

В сумме дробей исчезает произведение 704 · 54

\frac{704}{27+x}+\frac{704}{27-x}=54

Решение и ответ

ОДЗ. x\ne-27,\;27.

Приводим левую часть к одной дроби. Общий знаменатель: (27+x)(27-x). Первую дробь домножаем в числителе и знаменателе на 27-x, вторую на 27+x:

\frac{704}{27+x}=\frac{704(27-x)}{(27+x)(27-x)}.\frac{704}{27-x}=\frac{704(27+x)}{(27+x)(27-x)}.

Собираем левую часть в одну дробь. Правую часть записываем со знаменателем 1:

\frac{704(27-x)+704(27+x)}{(27+x)(27-x)}=\frac{54}{1}.

\bigl(704(27-x)+704(27+x)\bigr)\cdot1=54\cdot(27+x)(27-x).

Убираем умножение на 1. Получаем уравнение без знаменателей:

704(27-x)+704(27+x)=54(27+x)(27-x).

В сумме скобок слагаемые с x уничтожаются:

704\bigl((27-x)+(27+x)\bigr)=54(27^2-x^2).704\cdot54=54(27^2-x^2).

Делим на 54 до умножения.

704=729-x^2\Rightarrow x^2=25.

Оба корня входят в ОДЗ.

Ответ: x=-5,\;5.

6. Большой дискриминант без больших произведений

Три вопроса перед вычислением: можно ли разделить всё уравнение на общий множитель? Можно ли вынести квадрат из дискриминанта? Не скрывается ли формула (u+v)^2-4uv=(u-v)^2?

Пример 15

Большой дискриминант после умножения накрест

\frac{270}{14-x}-\frac{270}{14+x}=12

Решение и ответ

ОДЗ. x\ne14,\;-14.

Приводим левую часть к одной дроби. Общий знаменатель: (14-x)(14+x). Первую дробь домножаем в числителе и знаменателе на 14+x, вторую на 14-x:

\frac{270}{14-x}=\frac{270(14+x)}{(14-x)(14+x)}.\frac{270}{14+x}=\frac{270(14-x)}{(14-x)(14+x)}.

Собираем левую часть в одну дробь. Правую часть записываем со знаменателем 1:

\frac{270(14+x)-270(14-x)}{(14-x)(14+x)}=\frac{12}{1}.

\bigl(270(14+x)-270(14-x)\bigr)\cdot1=12\cdot(14-x)(14+x).

Убираем умножение на 1. Получаем уравнение без знаменателей:

270(14+x)-270(14-x)=12(14-x)(14+x).

Выносим 270 слева и применяем разность квадратов справа:

270\bigl((14+x)-(14-x)\bigr)=12(14^2-x^2).270\cdot2x=12(14^2-x^2).

Переносим всё влево, пока сохраняя произведение в свободном члене:

12x^2+540x-12\cdot14^2=0.

Проще сразу разделить всё уравнение на 12:

x^2+45x-196=0.D=45^2+4\cdot196=2025+784=2809=53^2.

Если считать дискриминант до деления на 12, большие числа тоже можно не перемножать. Замечаем 540 = 12 · 45:

D=(12\cdot45)^2+4\cdot12^2\cdot14^2=12^2(45^2+4\cdot14^2)=12^2\cdot53^2.\sqrt D=12\cdot53.

Множитель 12 сокращается в формуле корней:

x=\frac{12(-45\pm53)}{2\cdot12}=\frac{-45\pm53}{2}.

Оба корня допустимы.

Ответ: x=-49,\;4.

Пример 16

Выносим квадрат общего множителя из дискриминанта

\frac{450}{20-x}-\frac{450}{20+x}=12

Решение и ответ

ОДЗ. x\ne20,\;-20.

Приводим левую часть к одной дроби. Общий знаменатель: (20-x)(20+x). Первую дробь домножаем в числителе и знаменателе на 20+x, вторую на 20-x:

\frac{450}{20-x}=\frac{450(20+x)}{(20-x)(20+x)}.\frac{450}{20+x}=\frac{450(20-x)}{(20-x)(20+x)}.

Собираем левую часть в одну дробь. Правую часть записываем со знаменателем 1:

\frac{450(20+x)-450(20-x)}{(20-x)(20+x)}=\frac{12}{1}.

\bigl(450(20+x)-450(20-x)\bigr)\cdot1=12\cdot(20-x)(20+x).

Убираем умножение на 1. Получаем уравнение без знаменателей:

450(20+x)-450(20-x)=12(20-x)(20+x).450\bigl((20+x)-(20-x)\bigr)=12(20^2-x^2).450\cdot2x=12(20^2-x^2).

Переносим правую часть влево. Не вычисляем 12 · 20²:

12x^2+900x-12\cdot20^2=0.

Замечаем 900 = 12 · 75. В дискриминанте у каждого слагаемого есть множитель 12²:

D=(12\cdot75)^2+4\cdot12^2\cdot20^2=12^2(75^2+4\cdot20^2)=12^2(5625+1600)=12^2\cdot7225.

Корень из 7225 находится между 80 и 90 и оканчивается на 5. Проверяем 85² = 7225.

\sqrt D=12\cdot85.x=\frac{12(-75\pm85)}{2\cdot12}=\frac{-75\pm85}{2}.

Получаем −80 и 5. Оба значения допустимы. Тот же результат проще получить, разделив квадратное уравнение на 12 перед вычислением D.

Ответ: x=-80,\;5.

Пример 17

Чётный коэффициент: сокращённый дискриминант

\frac{288}{17-x}-\frac{288}{17+x}=2

Решение и ответ

ОДЗ. x\ne17,\;-17.

Приводим левую часть к одной дроби. Общий знаменатель: (17-x)(17+x). Первую дробь домножаем в числителе и знаменателе на 17+x, вторую на 17-x:

\frac{288}{17-x}=\frac{288(17+x)}{(17-x)(17+x)}.\frac{288}{17+x}=\frac{288(17-x)}{(17-x)(17+x)}.

Собираем левую часть в одну дробь. Правую часть записываем со знаменателем 1:

\frac{288(17+x)-288(17-x)}{(17-x)(17+x)}=\frac{2}{1}.

\bigl(288(17+x)-288(17-x)\bigr)\cdot1=2\cdot(17-x)(17+x).

Убираем умножение на 1. Получаем уравнение без знаменателей:

288(17+x)-288(17-x)=2(17-x)(17+x).288\bigl((17+x)-(17-x)\bigr)=2(17^2-x^2).288\cdot2x=2(17^2-x^2).

Делим на 2, затем переносим всё влево:

288x=289-x^2\Rightarrow x^2+288x-289=0.

Средний коэффициент равен 2 · 144. Вместо квадрата 288 считаем сокращённый дискриминант:

D_1=144^2+289=20736+289=21025=145^2.x=-144\pm145.

Оба корня допустимы.

Ответ: x=-289,\;1.

Если средний коэффициент чётный, полезен сокращённый дискриминант. Для ax^2+2kx+c=0 имеем D_1=k^2-ac, а корни равны x=\frac{-k\pm\sqrt{D_1}}a. Не смешивайте эту формулу с формулой для обычного дискриминанта.

7. Как подобрать корень из четырёх- и пятизначного числа

Если число — точный квадрат, часто быстрее ограничить диапазон и проверить последние цифры, чем разлагать его на простые множители. Для начала полезно знать квадраты чисел от 1 до 20 и круглых десятков.

Последняя цифра квадрата	Возможная последняя цифра корня
0	0
1	1 или 9
4	2 или 8
5	5
6	4 или 6
9	3 или 7
2, 3, 7, 8	Целого корня нет

Последняя цифра только сокращает перебор. Она не доказывает, что число — квадрат. Например, 3259 оканчивается на 9, но находится между 57^2=3249 и 58^2=3364.

Разбор: \sqrt{3249}

50^2=2500<3249<3600=60^2. Ищем целое число от 51 до 59.
Последняя цифра квадрата — 9. Корень может оканчиваться на 3 или 7: кандидаты 53 и 57.
Число больше 55^2=3025, поэтому 53 уже не подходит. Проверяем 57.
57^2=(60-3)^2=3600-360+9=3249. Значит, корень равен 57.

Разложение 3249=3^2\cdot19^2 тоже возможно. Но если множители не видны сразу, диапазон и последняя цифра дают более короткий путь.

Разбор: \sqrt{18769}

130^2=16900<18769<19600=140^2. Кандидаты — 133 и 137. Поскольку 135^2=18225<18769, остаётся 137. Проверяем:

137^2=(140-3)^2=19600-840+9=18769.

Разбор: \sqrt{17689}

Диапазон тот же, кандидаты те же. Но теперь число меньше 135^2=18225, поэтому проверяем 133:

133^2=(130+3)^2=16900+780+9=17689.

Для трёхзначного корня диапазон между соседними десятками также оставляет максимум двух кандидатов. При окончании на 5 помогает правило (10a+5)^2=100a(a+1)+25: например, 135^2=100\cdot13\cdot14+25=18225.

Пример 18

Дискриминант 3249

\frac{792}{x}-\frac{792}{x+9}=9

Решение и ответ

ОДЗ. x\ne0,\;-9.

Приводим левую часть к одной дроби. Общий знаменатель: (x)(x+9). Первую дробь домножаем в числителе и знаменателе на x+9, вторую на x:

\frac{792}{x}=\frac{792(x+9)}{(x)(x+9)}.\frac{792}{x+9}=\frac{792(x)}{(x)(x+9)}.

Собираем левую часть в одну дробь. Правую часть записываем со знаменателем 1:

\frac{792(x+9)-792(x)}{(x)(x+9)}=\frac{9}{1}.

\bigl(792(x+9)-792(x)\bigr)\cdot1=9\cdot(x)(x+9).

Убираем умножение на 1. Получаем уравнение без знаменателей:

792(x+9)-792(x)=9(x)(x+9).792\bigl((x+9)-x\bigr)=9x(x+9).792\cdot9=9x(x+9).

Делим на 9, раскрываем скобки и переносим 792 влево:

792=x^2+9x\Rightarrow x^2+9x-792=0.D=81+3168=3249,\quad\sqrt D=57.x=\frac{-9\pm57}{2}.

Корни 24 и −33 не обращают исходные знаменатели в ноль.

Ответ: x=-33,\;24.

Пример 19

Пятизначный дискриминант

\frac{4662}{x}-\frac{4662}{x+11}=11

Решение и ответ

ОДЗ. x\ne0,\;-11.

Приводим левую часть к одной дроби. Общий знаменатель: (x)(x+11). Первую дробь домножаем в числителе и знаменателе на x+11, вторую на x:

\frac{4662}{x}=\frac{4662(x+11)}{(x)(x+11)}.\frac{4662}{x+11}=\frac{4662(x)}{(x)(x+11)}.

Собираем левую часть в одну дробь. Правую часть записываем со знаменателем 1:

\frac{4662(x+11)-4662(x)}{(x)(x+11)}=\frac{11}{1}.

\bigl(4662(x+11)-4662(x)\bigr)\cdot1=11\cdot(x)(x+11).

Убираем умножение на 1. Получаем уравнение без знаменателей:

4662(x+11)-4662(x)=11(x)(x+11).4662\bigl((x+11)-x\bigr)=11x(x+11).4662\cdot11=11x(x+11).

Сокращаем на 11 до умножения. Затем переносим всё влево:

4662=x^2+11x\Rightarrow x^2+11x-4662=0.D=121+18648=18769,\quad\sqrt D=137.x=\frac{-11\pm137}{2}.

Оба корня допустимы.

Ответ: x=-74,\;63.

8. Замена, которая сохраняет структуру

Пример 20

Повторяется одна и та же дробь

\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^2-5\frac{x+1}{x-1}+6=0

Решение и ответ

ОДЗ. x\ne1.

Обозначаем t=(x+1)/(x-1). Тогда

t^2-5t+6=(t-2)(t-3)=0.

Получаем t = 2 или t = 3. Возвращаемся к x. В первом случае записываем справа 2/1 и перемножаем накрест:

\frac{x+1}{x-1}=\frac21.(x+1)\cdot1=2(x-1).x+1=2x-2\Rightarrow x=3.

Во втором случае записываем справа 3/1:

\frac{x+1}{x-1}=\frac31.(x+1)\cdot1=3(x-1).x+1=3x-3\Rightarrow x=2.

Оба корня входят в ОДЗ.

Ответ: x=2,\;3.

Замена должна облегчать решение, а после неё обязательно нужно вернуться к исходной переменной и проверить исходное ОДЗ.

9. Попробуйте самостоятельно

Сначала выпишите ОДЗ. Ответ и краткую подсказку можно раскрыть после решения.

Задание 1\frac{360}{x}-\frac{360}{x+2}=6

Ответ и подсказка

x=-12,\;10

Общий знаменатель x(x+2). После сокращения дробей: 360(x+2)−360x=6x(x+2). Получится x²+2x−120=0; запрещены 0 и −2.

Задание 2\frac{x^2-16}{x-4}=0

Ответ и подсказка

x=-4

Умножьте обе части на x−4, затем разложите x²−16. Значение 4 запрещено.

Задание 3\frac{165}{x-2}-\frac{165}{x+2}=4

Ответ и подсказка

x=-13,\;13

Умножьте на (x−2)(x+2): 165(x+2)−165(x−2)=4(x²−4). Слева получится 165 · 4, которое можно сократить на 4. Запрещены ±2.

Задание 4\frac{234}{x}-\frac{234}{x+5}=5

Ответ и подсказка

x=-18,\;13

После умножения на x(x+5): 234(x+5)−234x=5x(x+5). Сократите на 5 до вычисления произведения. Запрещены 0 и −5.

Задание 5\frac{768}{28+x}+\frac{768}{28-x}=56

Ответ и подсказка

x=-4,\;4

После сокращения дробей: 768(28−x)+768(28+x)=56(784−x²). Слева вынесите 768 и сократите общий множитель 56. Запрещены ±28.

Задание 6\frac{336}{x}-\frac{336}{x+3}=2

Ответ и подсказка

x=-24,\;21

Общий знаменатель x(x+3). Получится 336 · 3 = 2x(x+3), затем x²+3x−504=0. Запрещены 0 и −3.

Задание 7\frac{1560}{x}-\frac{1560}{x+1}=1

Ответ и подсказка

x=-40,\;39

Умножьте на x(x+1): 1560(x+1)−1560x=x(x+1). Затем D=1+4 · 1560=6241=79². Запрещены 0 и −1.

Задание 8\frac{x^2-8x+15}{x-3}=2

Ответ и подсказка

x=7

Умножьте обе части на x−3: x²−8x+15=2(x−3). Можно также сократить множитель x−3 в дроби и получить x−5=2. Значение 3 запрещено.

10. Что проверить перед ответом

ОДЗ выписано по исходным знаменателям.
Общий знаменатель содержит каждый множитель в наибольшей нужной степени.
При раскрытии скобок после минуса изменены знаки всех слагаемых.
Сокращены множители, а не отдельные слагаемые.
Перед вычислением дискриминанта проверены общие множители и формулы сокращённого умножения.
Найденный квадратный корень проверен возведением в квадрат.
Все корни прошли отбор по ОДЗ и подстановку в исходное уравнение.

← К материалам для подготовки к ЕГЭ