Как решать задание 13

Пример 1. Все платежи одинаковы

Условие. В июле 2020 года берут кредит на четыре года. Каждый январь долг увеличивается на 10%, затем с февраля по июнь вносится один платёж. Четыре одинаковых платежа полностью погашают кредит. Их общая сумма — 292 820 рублей. Сколько рублей взяли в кредит?

Решение. Обозначим кредит через S, одинаковый платёж — через x, коэффициент роста — через k. Даже известные величины пока оставляем буквами. Все суммы — в рублях.

Последняя строка даёт уравнение, а сумма четырёх платежей — ещё одно равенство:

k^4S=(k^3+k^2+k+1)x.

S=\frac{(k^3+k^2+k+1)x}{k^4}.

По условию 4x = 292 820, поэтому x = 73 205. Подставим это значение и k = 1,1 в формулу:

S=\frac{(1{,}1^3+1{,}1^2+1{,}1+1)\cdot73205}{1{,}1^4}=232050.

Ответ: 232 050 рублей.

Если дана переплата P, используйте 4x − S = P. Для n одинаковых платежей соответствующее равенство — nx-S=P.

Пример 2. Равны только первые два платежа

Условие. В июле 2026 года берут 800 тыс. рублей на три года. Каждый январь долг увеличивается на 20%, затем с февраля по июнь вносят платёж. Платежи в 2027 и 2028 годах равны. К июлю 2029 года кредит погашают полностью, выплатив в сумме 1254,4 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж 2027 года?

Решение. Обозначим кредит через S, коэффициент роста — через k, каждый из первых двух платежей — через x. Считаем в тысячах рублей.

Последний платёж равен всему долгу после начисления процентов: вычитаем его целиком и получаем нулевой остаток.

Сложим три платежа и приравняем их сумму к числу из условия:

x+x+\bigl(k^3S-(k^2+k)x\bigr)=1254{,}4.

k^3S-(k^2+k-2)x=1254{,}4.

Теперь подставим S = 800 и k = 1,2:

1{,}2^3\cdot800-(1{,}2^2+1{,}2-2)x=1254{,}4.

1382{,}4-0{,}64x=1254{,}4\quad\Longrightarrow\quad x=200.

Это 200 тыс. рублей. Ответ: 200 000 рублей. Проверка: последний платёж равен долгу с процентами — 854,4 тыс. рублей; сумма трёх платежей — 200 + 200 + 854,4 = 1254,4.

Пример 3. Сначала выплачивают только проценты

Условие. В июле 2026 года берут 825 тыс. рублей на пять лет. Каждый январь долг увеличивается на 20%, затем с февраля по июнь вносят платёж. В июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным 825 тыс. рублей. Платежи в 2030 и 2031 годах равны и полностью погашают кредит. Найдите общую сумму выплат в тысячах рублей.

Решение. Пусть S — кредит, k — коэффициент роста, x — каждый из последних двух платежей. В первые три года остаток равен S, поэтому платёж равен kS − S = (k − 1)S. Суммы — в тысячах рублей.

k(kS-x)-x=0\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{k^2S}{k+1}.

Общая выплата:

3(k-1)S+2x=3(k-1)S+\frac{2k^2S}{k+1}.

Подставим S = 825 и k = 1,2:

x=\frac{1{,}2^2\cdot825}{1{,}2+1}=540,\qquad3\cdot0{,}2\cdot825+2\cdot540=1575.

Ответ: 1575 тыс. рублей. Делить кредит пополам нельзя: перед каждым из последних двух платежей банк начисляет проценты.

Пример 4. Найти срок по общей сумме выплат

Условие. В июле берут 10 млн рублей на целое число лет. Каждый январь долг увеличивается на 10%, затем с февраля по июнь вносят платёж. После ежегодной выплаты долг уменьшается на одну и ту же сумму. Кредит погашают полностью, выплатив всего 15 млн рублей. На сколько лет взят кредит?

Решение. Обозначим одинаковое уменьшение долга через x, число выплат — через n. Тогда S = nx, а остатки после выплат равны (n − 1)x, (n − 2)x, …, x, 0. Коэффициент роста — k.

Сумма остатков для начисления процентов:

nx+(n-1)x+\ldots+x=\frac{n(n+1)}2x.

Сумма всех платежей по условию равна 15 млн рублей. Запишем уравнение:

nx+(k-1)\frac{n(n+1)}2x=15.

Поскольку nx = S = 10, делим обе части на nx:

1+(k-1)\frac{n+1}2=\frac{15}{10}.

Подставим k = 1,1:

\frac{15}{10}=1+0{,}1\cdot\frac{n+1}2\quad\Longrightarrow\quad n=9.

Ответ: 9 лет.

Если ограничен последний платёж, из последней строки сразу получаем A_n=kx. Значения k и x = S/n подставляем уже в полученное условие.

Пример 5. Сумма платежей за календарный год

Условие. 15 декабря 2026 года берут A млн рублей на 24 месяца. Первого числа каждого месяца долг увеличивается на 3%, со 2-го по 14-е число вносят платёж. К 15-му числу каждого месяца долг уменьшается на одинаковую сумму; к 15 декабря 2028 года он равен нулю. В 2028 году выплачено 17 925 тыс. рублей. Найдите A.

Решение. Пусть x — одинаковое ежемесячное уменьшение долга, n — число платежей, k — коэффициент роста. Тогда S = nx. Суммы в таблице — в миллионах рублей. Через m обозначим число платежей последнего календарного года. Их сумма по условию — 17,925 млн рублей.

Первый платёж — в январе 2027 года. Поэтому в 2028 году вносят последние m платежей. Они погашают mx основного долга, проценты начисляются на mx, (m − 1)x, …, x.

mx+(k-1)\frac{m(m+1)}2x=17{,}925.

x=\frac{17{,}925}{m+(k-1)m(m+1)/2},\qquad S=nx.

Теперь подставим n = 24, m = 12 и k = 1,03:

x=\frac{17{,}925}{12+0{,}03\cdot12\cdot13/2}=1{,}25,\qquad S=24\cdot1{,}25=30.

В условии размер кредита назван A, значит, A = S. Ответ: 30. Для 2028 года это платежи с 13-го по 24-й; сначала устанавливаем их номера, затем складываем.

Пример 6. Равномерное уменьшение до предпоследнего месяца

Условие. 15 декабря берут кредит на 11 месяцев. Первого числа каждого месяца долг увеличивается на 1%, со 2-го по 14-е число вносят платёж. Первые десять месяцев остаток уменьшается на одинаковую сумму. После десятой выплаты он равен 300 тыс. рублей, а после одиннадцатой — нулю. Общая выплата — 1388 тыс. рублей. Найдите сумму кредита в тысячах рублей.

Решение. Пусть первые n уменьшений равны x, после них остаётся R, а коэффициент роста равен k. Тогда S = nx + R. До остатка R используем тот же приём с целыми коэффициентами при x; затем отдельно погашаем R. Суммы — в тысячах рублей.

Для процентов нужны n + 1 остатков: nx + R, (n − 1)x + R, …, R. Их сумма:

\frac{n(n+1)}2x+(n+1)R.

Прибавим проценты к сумме кредита и приравняем результат к 1388:

nx+R+(k-1)\left(\frac{n(n+1)}2x+(n+1)R\right)=1388.

Подставим n = 10, R = 300 и k = 1,01:

10x+300+0{,}01(55x+3300)=1388\quad\Longrightarrow\quad10{,}55x=1055\quad\Longrightarrow\quad x=100.

S=nx+R=10\cdot100+300=1300.

Ответ: 1300 тыс. рублей. Равенство S = nx относится к равномерному погашению до нуля. Здесь после n уменьшений остаётся R, поэтому используем S = nx + R.

Пример 7. Два этапа с разными уменьшениями долга

Условие. В июле 2025 года берут 1400 тыс. рублей на десять лет. Каждый январь долг увеличивается на 10%, затем с февраля по июнь вносят платёж. После выплат первых пяти лет долг уменьшается на одну и ту же сумму, следующих пяти — на другую постоянную сумму. К июлю 2035 года кредит полностью погашают. Общая выплата — 2120 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж 2026 года?

Решение. Пусть на первом этапе долг каждый год уменьшается на x, на втором — на y. На каждом этапе по m выплат, коэффициент роста — k. Тогда S = mx + my, а после первого этапа остаётся my. Суммы — в тысячах рублей.

На первом этапе остатки для процентов: mx + my, (m − 1)x + my, …, x + my. Их сумма — m(m+1)x/2+m^2y. На втором: my, (m − 1)y, …, y; сумма — m(m+1)y/2.

m(x+y)+(k-1)\left(\frac{m(m+1)}2x+\frac{m(3m+1)}2y\right)=2120.

Сумма платежей равна 2120 тыс. рублей. Дополнительно m(x + y) = S. Подставим m = 5, k = 1,1 и S = 1400:

x+y=280,\qquad1400+0{,}1(15x+40y)=2120.

1{,}5x+4y=720\quad\Longrightarrow\quad y=120,\quad x=160.

Первый платёж — уменьшение долга плюс проценты на весь кредит:

A_1=x+(k-1)S=160+0{,}1\cdot1400=300.

Ответ: 300 000 рублей. На двух этапах разные уменьшения, поэтому вместо одного равенства S = nx записываем S = mx + my.

Пример 8. Долг уменьшается на одинаковый процент

Условие. В июле 2028 года берут 2500 тыс. рублей на три года. Каждый январь долг увеличивается на 20%, затем с февраля по июнь вносят платёж. В июле 2029 и 2030 годов остаток должен быть на 30% меньше остатка на июль предыдущего года. К июлю 2031 года кредит полностью погашают. Найдите сумму выплат в тысячах рублей.

Решение. Пусть S — кредит, k — коэффициент роста при начислении процентов, q — доля долга, остающаяся после уменьшения на заданный процент. Пока не подставляем числа: остатки равны S, qS, q²S, 0.

Кредит плюс проценты на остатки дают

S+(k-1)(S+qS+q^2S)=S\left(1+(k-1)(1+q+q^2)\right).

Подставим S = 2500, k = 1,2 и q = 0,7:

2500\left(1+0{,}2(1+0{,}7+0{,}7^2)\right)=3595.

Ответ: 3595 тыс. рублей. «На одинаковую сумму» даёт арифметическую прогрессию остатков, «на одинаковый процент» — геометрическую.

Пример 9. Каждый платёж меньше заданной суммы

Условие. В июле 2016 года берут кредит на три года в размере S млн рублей, где S — положительное целое. Каждый январь долг увеличивается на 15%, затем с февраля по июнь вносят один платёж. В июле 2017 года остаток равен 0,8S, в июле 2018 года — 0,5S, к июлю 2019 года — нулю. Найдите наибольшее S, при котором каждый платёж меньше 4 млн рублей.

Решение. Обозначим коэффициент роста через k, заданные доли остатков — через a и b, границу платежа — через L. Остатки: S, aS, bS, 0. Все суммы — в миллионах рублей.

Чтобы каждый платёж был меньше L, найдём наибольший коэффициент при положительном S:

M=\max\{k-a,\;ka-b,\;kb\},\qquad MS<L\quad\Longrightarrow\quad S<\frac LM.

Теперь подставим k = 1,15, a = 0,8, b = 0,5 и L = 4:

M=\max\{0{,}35;\;0{,}42;\;0{,}575\}=0{,}575,\qquad S<\frac4{0{,}575}=\frac{160}{23}.

Наибольшее целое S равно 6. При S = 6 наибольший платёж равен 3,45 < 4; при S = 7 — 4,025 > 4.

Ответ: 6. Если ограничена сумма всех выплат, платежи складывают. Если ограничен каждый платёж, сравнивают с границей наибольший.