Теория планиметрии: шпаргалка по геометрии для ЕГЭ

Основные углы

• Смежные углы имеют общую сторону, а две другие стороны — противоположные лучи. Их сумма равна 180^\circ.
• Вертикальные углы образованы двумя пересекающимися прямыми и расположены друг напротив друга. Они равны.
• Биссектриса угла делит его на два равных угла. Любая её точка равноудалена от сторон угла.

Если прямые параллельны

При пересечении двух параллельных прямых секущей:

• накрест лежащие углы равны;
• соответственные углы равны;
• сумма внутренних односторонних углов равна 180^\circ.

Каждое из этих условий работает и обратно: по нему можно доказать параллельность прямых.

Треугольник: углы и стороны

Свойства

• Сумма углов: A+B+C=180^\circ.
• Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
• Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.
• Неравенство треугольника: каждая сторона меньше суммы двух других. Для третьей стороны: |a-b|<c<a+b.

Равнобедренный треугольник

Определение. Треугольник с двумя равными сторонами.

Свойства

• Углы при основании равны.
• Медиана, проведённая к основанию, является также высотой и биссектрисой.

Признаки

• Если два угла треугольника равны, то он равнобедренный.

Равносторонний треугольник

Определение. Треугольник с тремя равными сторонами.

Свойства

• Все углы равны 60^\circ.
• Каждая медиана является также высотой и биссектрисой.

Признаки

• Если все углы треугольника равны, то он равносторонний.

Медиана, высота, биссектриса

• Медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны.
• Высота — перпендикуляр из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону. Высота может лежать снаружи треугольника.
• Биссектриса треугольника — отрезок биссектрисы его угла от вершины до противоположной стороны.

Три признака равенства

Два треугольника равны, если у них соответственно равны:

• две стороны и угол между ними;
• сторона и два прилежащих к ней угла;
• три стороны.

У равных треугольников все соответствующие стороны и углы равны.

Параллелограмм

Определение. Четырёхугольник с попарно параллельными противоположными сторонами.

Свойства

• Противоположные стороны равны.
• Противоположные углы равны.
• Сумма соседних углов равна 180^\circ.
• Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Признаки

• Если противоположные стороны четырёхугольника попарно равны, то это параллелограмм.
• Если одна пара противоположных сторон равна и параллельна, то это параллелограмм.
• Если диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам, то это параллелограмм.

Прямоугольник

Определение. Параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойства

• Обладает всеми свойствами параллелограмма.
• Диагонали равны.

Признаки

• Если у параллелограмма один угол прямой, то это прямоугольник.
• Если диагонали параллелограмма равны, то это прямоугольник.

Ромб

Определение. Параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства

• Обладает всеми свойствами параллелограмма.
• Диагонали перпендикулярны.
• Каждая диагональ делит два угла ромба пополам.

Признаки

• Если две соседние стороны параллелограмма равны, то это ромб.
• Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то это ромб.
• Если диагональ параллелограмма делит его угол пополам, то это ромб.

Квадрат

Определение. Прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства

• Обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба.
• Диагонали равны, перпендикулярны и делят углы пополам.

Признаки

• Если у прямоугольника две соседние стороны равны, то это квадрат.
• Если у ромба один угол прямой, то это квадрат.
• Если диагонали ромба равны, то это квадрат.

Трапеция

Определение. Четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные стороны — основания.

Свойства

• Углы при каждой боковой стороне в сумме дают 180^\circ.
• Средняя линия соединяет середины боковых сторон, параллельна основаниям и равна \frac{a+b}{2}.
• Треугольники при основаниях с общей вершиной в точке пересечения диагоналей подобны.

Признаки

• Если у четырёхугольника ровно одна пара противоположных сторон параллельна, то это трапеция.

Равнобедренная трапеция

Определение. Трапеция с равными боковыми сторонами.

Свойства

• Углы при каждом основании равны.
• Диагонали равны.
• Если опустить высоты на большее основание, крайние отрезки равны \frac{a-b}{2}, где a>b — основания.

Признаки

• Если углы при одном основании трапеции равны, то она равнобедренная.
• Если диагонали трапеции равны, то она равнобедренная.

Прямоугольный треугольник

Определение. Треугольник с прямым углом. Напротив него лежит гипотенуза c; стороны a и b — катеты.

Свойства

• Теорема Пифагора: a^2+b^2=c^2.
• Сумма острых углов равна 90^\circ.
• Катет напротив угла 30^\circ равен половине гипотенузы.
• Медиана к гипотенузе равна её половине.

Признаки

• Если квадрат большей стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.
• Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой проведена, то угол напротив этой стороны прямой.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

• По двум катетам.
• По гипотенузе и катету.
• По катету и прилежащему острому углу.
• По гипотенузе и острому углу.

Высота к гипотенузе

Катет в квадрате равен гипотенузе, умноженной на проекцию этого катета на гипотенузу.

Для острого угла α

a — противолежащий катет, b — прилежащий катет, c — гипотенуза.

Основные тождества:

\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1;
\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}.

\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha;
\cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha.

Значения, которые нужно помнить

Дополнительно: \sin90^\circ=1, \cos90^\circ=0; \sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha, \cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha.

Три признака подобия

Треугольники подобны, если:

• два угла одного равны двум углам другого;
• две стороны пропорциональны, а углы между ними равны;
• три стороны пропорциональны.

k — отношение соответствующих сторон. Периметры, соответствующие высоты, медианы и биссектрисы относятся как k.

Медиана, высота, биссектриса

• Медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны. Медианы пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1 от вершины.
• Высота — перпендикуляр из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону. Прямые, содержащие три высоты, пересекаются в одной точке. В тупоугольном треугольнике высота может лежать снаружи.
• Биссектриса: если AD делит угол A пополам и D лежит на BC, то \frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}.

Средняя линия и теорема Фалеса

• Средняя линия соединяет середины двух сторон треугольника. Она параллельна третьей стороне и равна её половине.
• Теорема Фалеса: параллельные прямые, отсекающие равные отрезки на одной стороне угла, отсекают равные отрезки и на другой стороне.
• Если DE\parallel BC, D\in AB, E\in AC, то \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}.

Определения и хорды

• Окружность — все точки плоскости на расстоянии R от центра. Круг — окружность вместе с её внутренней областью.
• Хорда соединяет две точки окружности; диаметр — хорда через центр, d=2R.
• Перпендикуляр из центра к хорде делит её пополам. Прямая через центр и середину хорды перпендикулярна хорде.
• Равные хорды одной окружности равноудалены от центра и стягивают равные меньшие дуги.

Центральный и вписанный углы

• Центральный угол имеет вершину в центре; его величина равна градусной мере соответствующей дуги.
• Вписанный угол имеет вершину на окружности и равен половине дуги, на которую опирается, не содержащей вершину.
• Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
• Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90^\circ.

Касательная

Определение. Прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку.

Свойства

• Радиус к точке касания перпендикулярен касательной.
• Отрезки двух касательных из одной внешней точки равны.
• Угол между касательной и хордой равен половине градусной меры дуги, заключённой внутри этого угла.

Признак

• Если прямая проходит через точку окружности перпендикулярно радиусу к этой точке, она является касательной.

Произведения отрезков

• Если хорды AB и CD пересекаются внутри окружности в точке M:
  MA\cdot MB=MC\cdot MD
• Если из внешней точки P проведены касательная PT и секущая PAB (A — ближняя точка, B — дальняя):
  PT^2=PA\cdot PB
• Для двух секущих PAB и PCD из внешней точки P:
  PA\cdot PB=PC\cdot PD

На секущей берутся расстояние до ближней точки и расстояние до дальней точки, а не длина хорды.

Треугольник

h_a — высота к стороне a.

Прямоугольный: S=\frac{ab}{2}, где a, b — катеты.

Равносторонний со стороной a:
h=\frac{a\sqrt3}{2},   S=\frac{a^2\sqrt3}{4}.

Четырёхугольники

• Параллелограмм: S=ah.
• Прямоугольник: S=ab.
• Ромб: S=ah=\frac{d_1d_2}{2}.
• Квадрат: S=a^2=\frac{d^2}{2}; d=a\sqrt2.
• Трапеция: S=\frac{(a+b)h}{2}=mh, где a, b — основания, m — средняя линия.

Отношения площадей

• У треугольников с общей высотой площади относятся как основания.
• У треугольников с равными основаниями площади относятся как высоты.
• Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.
• Если коэффициент подобия равен k, отношение площадей равно k^2.

Высота к основанию всегда перпендикулярна прямой, на которой лежит основание. Боковая сторона не обязательно является высотой.

Окружность и круг

Для центрального угла α в градусах:

В треугольнике

• Вписанная окружность касается всех сторон. Её центр — точка пересечения биссектрис.
• Описанная окружность проходит через все вершины. Её центр — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.
• Серединный перпендикуляр проходит через середину отрезка под прямым углом. Все его точки равноудалены от концов отрезка.

Два частых случая

Прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c:

Центр описанной окружности — середина гипотенузы.

Равносторонний треугольник со стороной a:

Вписанный четырёхугольник

Определение. Четырёхугольник, все вершины которого лежат на одной окружности.

Свойства

• Сумма противоположных углов равна 180^\circ.
• Прямоугольник и равнобедренную трапецию всегда можно вписать в окружность.

Признаки

• Если сумма противоположных углов выпуклого четырёхугольника равна 180^\circ, вокруг него можно описать окружность.

Описанный четырёхугольник

Определение. Выпуклый четырёхугольник, все стороны которого касаются одной окружности.

Свойства

• Суммы противоположных сторон равны: AB+CD=BC+AD.
• Площадь S=pr, где p — полупериметр, r — радиус вписанной окружности.
• В любой ромб, в том числе в квадрат, можно вписать окружность.