Нужна помощь в подготовке?
Я провожу как индивидуальные так и групповые занятия в Zoom. Всего пара уроков и вы сможете решать самые сложные задания! Пишите в телеграм или на почту kuftinov2010@gmail.com.
Страница дополняется! Последнее обновление было 17 апреля 2023 года.
С чего начать подготовку с нуля к решению 19 задания?
Для решения 19 задания вы должны знать основы следующих тем:
- Доказательство от противного
- Проценты и процентные пункты
- Среднее арифметическое
- Арифметическая прогрессия
- Геометрическая прогрессия
Проверьте себя, даже если считаете, что хорошо знаете эти темы!
Как решать 19 задание
Существует всего 3 метода решения задания 19! В начале решения вы должны понять, какой из них собираетесь применять!
1. Привести пример
Если в задаче вопрос "может ли такое быть", "существует ли такое число" и т.д., и ответ "ДА", то в решении необходимо привести пример.2. Доказательство от противного
Если в задаче вопрос "может ли такое быть", "существует ли такое число" и т.д., и ответ "НЕТ", то нужно доказывать от противного - предположить, что такое может быть и найти противоречие условиям.3. Нахождение минимума и максимума
Если в задаче просят найти максимальное или минимальное значение, то вы должны выполнить 2 условия:- Привести пример этого максимального или минимального значения
- Доказать, что больше (если спрашивают про максимальное) или меньше (если спрашивают про минимальное) значение быть не может
Полезный совет 1
Если в задаче вопрос "может ли такое быть", "существует ли такое число" и т.д., но вы не знаете, ответ "ДА" или "НЕТ", то попробуйте привести пример. Либо это у вас получится и задача будет решена, либо вы увидите, что что-то мешает и это поможет вам найти противоречие для доказательства от противногоЗадачи про среднее арифметическое
Единственная формула, необходимая для решения этих задач: . Среднее арифметическое равно m отношению суммы значений элементов S к их количеству n.
Полезный совет 2
В 19 задании значения очень часто являются целыми, поэтому для решения задачи лучше переписать формулу в виде . Также большинстве задач про среднее арифметическое полезнее работать с суммой элементов, чем с их средним арифметическим.Задача 1, вариант 1
Сложность 1 из 5
5 учеников проходили тестирование. Каждый получил за тест целое число баллов, никто не получил менее 10 баллов и никто не получил более 19 баллов. Мог ли их средний балл равняться 12.4?
Да, мог. Для этого сумма их баллов должна равняться 12.4*5=62. Баллы могут равняться 12 12 12 12 14.
Задача 1, вариант 2
Сложность 1 из 5
4 учеников проходили тестирование. Каждый получил за тест целое число баллов, никто не получил менее 10 баллов и никто не получил более 18 баллов. Мог ли их средний балл равняться 16.5?
Да, мог. Для этого сумма их баллов должна равняться 16.5*4=66. Баллы могут равняться 16 16 16 18.
Задача 2, вариант 1
Сложность 1 из 5
Ученики из 2 школ проходили тестирование. У учеников из первой школы средний балл оказался равен 10, а учеников из второй школы средний балл оказался равен 14. Мог ли средний балл всех участников оказался равен 13?
Да, мог. Например, в первой школе 1 ученик набрал 10 баллов, а во второй школе 3 ученика набрали по 14 баллов. Сумма баллов 42=4*13.
Задача 2, вариант 2
Сложность 1 из 5
Ученики из 2 школ проходили тестирование. У учеников из первой школы средний балл оказался равен 9, а учеников из второй школы средний балл оказался равен 16. Мог ли средний балл всех участников оказался равен 11?
Да, мог. Например, в первой школе 5 учеников набрали по 9 баллов, а во второй школе 2 ученика набрали по 16 баллов. Сумма баллов 77=7*11.
Задача 3, вариант 1
Сложность 2 из 5
10 учеников проходили тестирование. Каждый получил за тест целое число баллов, никто не получил менее 2 баллов и никто не получил более 20 баллов. Средний балл оказался 11. После этого ученики, набравшие меньше 11 баллов, прошли повторное тестирование, и каждый из них набрал на 2 балла больше. Мог ли их средний балл оказаться равен 6?
Да, мог. Например баллы на первом тестировании были 4 4 4 4 4 18 18 18 18 18.
Задача 3, вариант 2
Сложность 2 из 5
8 учеников проходили тестирование. Каждый получил за тест целое число баллов, никто не получил менее 2 баллов и никто не получил более 20 баллов. Средний балл оказался 12. После этого ученики, набравшие меньше 12 баллов, прошли повторное тестирование, и каждый из них набрал на 2 балла больше. Мог ли их средний балл оказаться равен 6?
Да, мог. Например баллы на первом тестировании были 4 4 4 4 20 20 20 20.
Задача 4, вариант 1
Сложность 2 из 5
5 учеников проходили тестирование. Каждый получил за тест целое число баллов, никто не получил менее 10 баллов и никто не получил более 18 баллов. Мог ли их средний балл равняться 12.5?
Нет, не мог. Для этого сумма их баллов должна равняться 12.5*5=62.5. Но каждый ученик получил целое число баллов, поэтому их сумма не могла равняться 62.5
Задача 4, вариант 2
Сложность 2 из 5
7 учеников проходили тестирование. Каждый получил за тест целое число баллов, никто не получил менее 10 баллов и никто не получил более 18 баллов. Мог ли их средний балл равняться 13.5?
Нет, не мог. Для этого сумма их баллов должна равняться 13.5*7=94.5. Но каждый ученик получил целое число баллов, поэтому их сумма не могла равняться 94.5
Задача 5, вариант 1
Сложность 3 из 5
5 учеников проходили тестирование. Каждый получил за тест целое число баллов, никто не получил меньше 10 баллов и никто не получил больше 20 баллов. Их средний балл оказался равен 16. После этого посчитали средний балл без учета ученика с лучшим результатом. Какое минимальное значение он мог принять?
Средний балл (m) оставшихся учеников тем меньше, чем больше баллов (x) набрал лучший ученик. . Так как максимальное значение x=20, то минимальное значение . Такое возможно, если баллы были 12, 16, 16, 16, 20
Задача 5, вариант 2
Сложность 3 из 5
6 учеников проходили тестирование. Каждый получил за тест целое число баллов, никто не получил меньше 10 баллов и никто не получил больше 20 баллов. Их средний балл оказался равен 15. После этого посчитали средний балл без учета ученика с лучшим результатом. Какое минимальное значение он мог принять?
Средний балл (m) оставшихся учеников тем меньше, чем больше баллов (x) набрал лучший ученик. . Так как максимальное значение x=20, то минимальное значение . Такое возможно, если баллы были 10, 15, 15, 15, 15, 20
Задача 6, вариант 1
Сложность 3 из 5
10 учеников проходили тестирование. Каждый получил за тест целое число баллов, никто не получил менее 2 баллов и никто не получил более 20 баллов. Средний балл оказался 11. После этого ученики, набравшие меньше 11 баллов, прошли повторное тестирование, и каждый из них набрал на 2 балла больше и их средний балл оказаться равен 6. Могло ли оказаться так, что в повторном тестировании участвовало 6 человек?
Нет, не могло. Если 6 учеников на повторном тестировании получили средний балл 6, то они в сумме набрали 36 баллов. Тогда на первом тестировании они набрали на 12 баллов меньше (каждый на 2 меньше), то есть 24 балла. Но средний балл был 11, значит всего 10 учеников набрали 110 баллов, то есть оставшиеся 4 набрали 110-24=86. Но они могли набрать максимум 80 баллов, так как каждый набрал не больше 20.
Задача 6, вариант 2
Сложность 3 из 5
12 учеников проходили тестирование. Каждый получил за тест целое число баллов, никто не получил менее 2 баллов и никто не получил более 18 баллов. Средний балл оказался 14. После этого ученики, набравшие меньше 14 баллов, прошли повторное тестирование, и каждый из них набрал на 2 балла больше и их средний балл оказаться равен 6. Могло ли оказаться так, что в повторном тестировании участвовало 5 человек?
Нет, не могло. Если 5 учеников на повторном тестировании получили средний балл 6, то они в сумме набрали 30 баллов. Тогда на первом тестировании они набрали на 10 баллов меньше (каждый на 2 меньше), то есть 20 баллов. Но средний балл был 14, значит всего 12 учеников набрали 168 баллов, то есть оставшиеся 7 набрали 168-20=148. Но они могли набрать максимум 140 баллов, так как каждый набрал не больше 20.
Задача 7, вариант 1
Сложность 3 из 5
Ученики из 2 школ проходили тестирование. У учеников из первой школы средний балл оказался равен 10, а учеников из второй школы средний балл оказался равен 14. Какое наименьшее число учеников из второй школы могли проходить тестирование, если средний балл всех участников оказался равен 13?
Пусть из первой школы тестирование проходили a учеников, а из второй школы b учеников. Запишем, сколько всего баллов набрали ученики обеих школ 10a+14b=13(a+b). Тогда b=3a. Так как оба числа натуральные, то минимальное значение a=1, а значит минимальное значение b=3. Например, в первой школе 1 ученик набрал 10 баллов, а во второй школе 3 ученика набрали по 14 баллов.
Задача 7, вариант 2
Сложность 3 из 5
Ученики из 2 школ проходили тестирование. У учеников из первой школы средний балл оказался равен 9, а учеников из второй школы средний балл оказался равен 16. Какое наименьшее число учеников из второй школы могли проходить тестирование, если средний балл всех участников оказался равен 11?
Пусть из первой школы тестирование проходили a учеников, а из второй школы b учеников. Запишем, сколько всего баллов набрали ученики обеих школ 9a+16b=11(a+b). Тогда 5b=2a, . Чтобы a было целым, b должно делиться на 2, то есть минимальное значение b=2. Например, в первой школе 5 учеников набрали по 9 баллов, а во второй школе 2 ученика набрали по 16 баллов.
Задача 8, вариант 1
Сложность 4 из 5
10 учеников проходили тестирование. Каждый получил за тест целое число баллов, никто не получил менее 2 баллов и никто не получил более 20 баллов. Средний балл оказался 11. После этого ученики, набравшие меньше 11 баллов, прошли повторное тестирование, каждый из них набрал на 2 балла больше, а их средний балл оказаться равен 6. Какое максимальное количество учеников могло проходить повторное тестирование?
Сумма всех баллов на первом тестировании равна 110. Пусть n учеников набрали меньше 11 баллов, а всего они набрали S баллов. Тогда на втором тестировании они набрали S+2n=6n. Значит S=4n. Пусть средний балл учеников, не участвовавших в повторном тестировании, равен m. Тогда запишем сумму баллов в первом тестировании: .
То есть в повторном тестировании принимало участие не больше 5 учеников. Приведем пример, когда участвовало ровно 5: тогда баллы на первом тестировании были 4 4 4 4 4 18 18 18 18 18.
То есть в повторном тестировании принимало участие не больше 5 учеников. Приведем пример, когда участвовало ровно 5: тогда баллы на первом тестировании были 4 4 4 4 4 18 18 18 18 18.
Задача 8, вариант 2
Сложность 4 из 5
12 учеников проходили тестирование. Каждый получил за тест целое число баллов, никто не получил менее 2 баллов и никто не получил более 20 баллов. Средний балл оказался 14. После этого ученики, набравшие меньше 11 баллов, прошли повторное тестирование, каждый из них набрал на 2 балла больше, а их средний балл оказаться равен 6. Какое максимальное количество учеников могло проходить повторное тестирование?
Сумма всех баллов на первом тестировании равна 168. Пусть n учеников набрали меньше 14 баллов, а всего они набрали S баллов. Тогда на втором тестировании они набрали S+2n=6n. Значит S=4n. Пусть средний балл учеников, не участвовавших в повторном тестировании, равен m. Тогда запишем сумму баллов в первом тестировании: .
То есть в повторном тестировании принимало участие не больше 5 учеников. Приведем пример, когда участвовало ровно 5: тогда баллы на первом тестировании были 4 4 4 4 19 19 19 19 19 19 19 19.
То есть в повторном тестировании принимало участие не больше 5 учеников. Приведем пример, когда участвовало ровно 5: тогда баллы на первом тестировании были 4 4 4 4 19 19 19 19 19 19 19 19.