Шпаргалка по арифметическим прогрессиям
Определение, основные формулы и восемь задач с короткими решениями. В конце — упражнения на суммы, которые пригодятся при подготовке к финансовой задаче № 13.
1. Что такое арифметическая прогрессия
Арифметическая прогрессия — последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему одного и того же числа d. Это число называют разностью прогрессии.
a_{n+1}=a_n+d.
Например, 3,\;7,\;11,\;15,\ldots — прогрессия с разностью d=4, а 20,\;17,\;14,\;11,\ldots — с разностью d=-3. При d=0 все члены равны.
Обозначения: a_1 — первый член, a_n — член с номером n, S_n — сумма первых n членов. Число n — натуральное.
2. Основные формулы арифметической прогрессии
Разность прогрессии
d=a_{n+1}-a_n.
Вычитаем предыдущий член из следующего.
Формула n-го члена
a_n=a_1+(n-1)d.
От первого члена до n-го — n-1 шагов.
Переход от одного члена к другому
a_n=a_m+(n-m)d.
Если известны два члена с разными номерами:
d=\frac{a_n-a_m}{n-m}.
Сумма первых n членов
S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n.
Полусумма крайних членов, умноженная на число членов. Если последний член неизвестен:
S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n.
Количество членов при d ≠ 0
n=\frac{a_n-a_1}{d}+1.
Между крайними членами на один промежуток меньше, чем самих членов. Результат должен быть натуральным.
Средний из трёх соседних членов
a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2,\quad n\ge2.
Например, в прогрессии 4, 10, 16 средний член равен (4+16)/2=10.
3. Простые задачи с решениями
Задача 1. Найти разность и восьмой член
Условие. Дана арифметическая прогрессия 3,\;7,\;11,\ldots. Найдите d и a_8.
Решение.
d=7-3=4.
a_8=3+7\cdot4=31.
Ответ: d=4,\quad a_8=31.
Задача 2. Убывающая прогрессия
Условие. Первый член равен 20, разность равна −3. Найдите седьмой член.
Решение.
a_7=20+(7-1)\cdot(-3)=2.
Ответ: 2.
Задача 3. Сумма по крайним членам
Условие. В арифметической прогрессии a_1=5, a_{10}=32. Найдите сумму первых десяти членов.
Решение.
Разность искать не нужно: известны оба крайних члена и их количество.
S_{10}=\frac{5+32}{2}\cdot10=185.
Ответ: 185.
Задача 4. Известны два члена
Условие. В арифметической прогрессии a_3=12, a_8=32. Найдите разность и первый член.
Решение.
От третьего члена до восьмого — пять шагов. От первого до третьего — два.
d=\frac{32-12}{8-3}=4,
a_1=12-2\cdot4=4.
Ответ: d=4,\quad a_1=4.
4. Упражнения для подготовки к задаче 13
Потренируем четыре приёма: считать слагаемые, складывать убывающую прогрессию, группировать разности и выделять участки с разным шагом.
Задача 5. Сколько членов в убывающей сумме
Условие. Найдите количество слагаемых и сумму:
1000+950+900+\ldots+50.
Решение.
Первый член — 1000, последний — 50, разность — −50. Последний член входит в сумму.
n=\frac{50-1000}{-50}+1=20.
S_{20}=\frac{1000+50}{2}\cdot20=10500.
В сумме 950+900+\ldots+50+0 тоже 20 членов, но другие крайние члены. Её сумма равна (950+0)\cdot20/2=9500.
Ответ: 20 слагаемых; сумма 10 500.
Задача 6. Сумма разностей
Условие. Вычислите сумму 20 разностей. В каждой следующей скобке оба числа уменьшаются на 50:
(1{,}1\cdot1000-950)
+(1{,}1\cdot950-900)
+\ldots+(1{,}1\cdot50-0).
Решение.
Сумма разностей равна разности сумм. Собираем отдельно все уменьшаемые и все вычитаемые:
1{,}1(1000+950+\ldots+50)
-(950+900+\ldots+0).
Обе суммы нашли в предыдущей задаче:
1{,}1\cdot10500-9500=2050.
Можно проверить иначе: первая разность равна 150, последняя — 55. Сами разности образуют прогрессию с шагом −5:
\frac{150+55}{2}\cdot20=2050.
Ответ: 2050.
Задача 7. Прогрессия с неизвестным S
Условие. Даны две суммы по пять членов арифметических прогрессий:
A=S+0{,}8S+\ldots+0{,}2S,
B=0{,}8S+0{,}6S+\ldots+0.
Найдите S, если 1{,}12A-B=816.
Решение.
В каждой сумме пять членов. Складываем коэффициенты как арифметическую прогрессию:
A=\frac{S+0{,}2S}{2}\cdot5=3S,
B=\frac{0{,}8S+0}{2}\cdot5=2S.
Подставляем в равенство:
1{,}12\cdot3S-2S=816,
1{,}36S=816,\qquad S=600.
Ответ: 600.
Задача 8. Разный шаг — две прогрессии
Условие. Сначала числа уменьшаются на 50 от 1000 до 550 включительно, затем — на 100 от 500 до 100 включительно. Найдите сумму всех этих чисел:
(1000+950+\ldots+550)
+(500+400+\ldots+100).
Решение.
У всей последовательности нет постоянной разности. Складываем два участка отдельно.
На первом участке (1000-550)/50+1=10 членов:
S_1=\frac{1000+550}{2}\cdot10=7750.
На втором участке (500-100)/100+1=5 членов:
S_2=\frac{500+100}{2}\cdot5=1500.
S_1+S_2=7750+1500=9250.
Ответ: 9250.
5. Что проверить перед ответом
- Постоянна ли разность? Убывание на одну и ту же сумму даёт арифметическую прогрессию. Убывание на один и тот же процент от текущего значения обычно её не даёт.
- Верно ли число членов? От a_1 до a_n — n членов и n-1 шагов.
- Те ли крайние члены взяты? Начальный член и ноль включаем, только если они входят в нужную сумму. Ноль не меняет сумму, но меняет число слагаемых.
- Не меняется ли шаг? При смене разности суммируем участки отдельно, каждое число учитываем один раз.