Как строить графики преобразованиями и модулями
Возьмите знакомый график y = f(x), измените координаты его точек — и получите новый. Ниже — основные виды преобразований графиков функций и 18 разобранных примеров с модулями, сдвигами, отражениями, растяжениями и сжатиями.
Сдвиг вверх и вниз
y = f(x) + b
При b > 0 перенесите весь график вверх на b, при b < 0 — вниз на |b|. Точка (x; y) переходит в (x; y + b).
y = x^2 + 2
Параболу y = x^2 поднимаем на 2. Вершина: (0; 2).
y = x^2 - 3
Параболу опускаем на 3. Вершина: (0; -3).
Сдвиг вправо и влево
y = f(x - a)
При a > 0 сдвиньте график вправо на a, при a < 0 — влево на |a|. Точка (x; y) переходит в (x + a; y). Знак внутри скобок подсказывает противоположное направление.
y = (x - 2)^2
Параболу y = x^2 сдвигаем вправо на 2. Вершина: (2; 0).
y = (x + 2)^2
Сдвигаем параболу влево на 2. Вершина: (-2; 0).
Отражения относительно осей
y = -f(x)\quad\text{и}\quad y = f(-x)
Минус перед функцией отражает график относительно Ox: (x; y) \longrightarrow (x; -y). Минус у аргумента отражает относительно Oy: (x; y) \longrightarrow (-x; y). Для y = -f(-x) выполните оба отражения — получится симметрия относительно начала координат.
y = -x^2
Отражаем y = x^2 относительно Ox. Ветви направлены вниз.
y = \sqrt{-x}
Отражаем y = \sqrt{x} относительно Oy. Область определения: x \le 0.
Растяжение и сжатие по вертикали
y = kf(x), k > 0
Умножьте ординаты всех точек на k. При k > 1 график растягивается от Ox, при 0 < k < 1 — сжимается к Ox. Абсциссы не меняются. При k < 0 дополнительно отразите относительно Ox.
y = 2x^2
У y = x^2 удваиваем все значения y: (1; 1) → (1; 2).
y = \frac{1}{2}x^2
Уменьшаем все значения y в 2 раза: (2; 4) → (2; 2).
Сжатие и растяжение по горизонтали
y = f(kx), k > 0
Разделите абсциссы всех точек на k. При k > 1 график сжимается к Oy в k раз; при 0 < k < 1 — растягивается от Oy в 1/k раз. Ординаты не меняются. При k < 0 дополнительно отразите относительно Oy.
y = (2x)^3/4
Из y = x^3/4 получаем график, сжатый по горизонтали в 2 раза: (2; 2) → (1; 2).
y = (x/2)^3/4
Растягиваем y = x^3/4 по горизонтали в 2 раза: (2; 2) → (4; 2).
Модуль снаружи: отражаем нижнюю часть
y = |f(x)|
Часть графика на Ox и выше оставьте на месте. Часть ниже Ox отразите вверх относительно Ox. Область определения сохраняется; все значения новой функции неотрицательны.
y = |x^2 - 4|
Строим y = x^2 - 4. Участок между x = -2 и x = 2 отражаем вверх; внешние ветви сохраняем.
y = |x - 1|
У прямой y = x - 1 отражаем часть при x < 1. Получается угол с вершиной (1; 0).
Модуль внутри: копируем правую часть
y = f(|x|)
Сохраните график y = f(x) при x \ge 0 и отразите эту часть влево относительно Oy. Прежнюю левую часть не используйте. Получится чётная функция. Допустимы только те x, для которых |x| входит в область определения f.
y = |x| - 2
У прямой y = x - 2 берём правую полупрямую и копируем влево. Вершина: (0; -2).
y = \sqrt{|x|}
Правую ветвь y = \sqrt{x} отражаем влево. Теперь функция определена при всех x.
Модули внутри и снаружи
y = |f(|x|)|
Сначала постройте f(|x|): правую часть исходного графика скопируйте влево. Затем поднимите отражением все участки ниже Ox. Итоговый график симметричен относительно Oy и лежит на Ox и выше.
y = ||x| - 2|
Из y = x - 2 получаем y = |x| - 2, затем отражаем нижние участки вверх. Получается W: нули при x = \pm 2, значение при x = 0 равно 2.
Модуль со сдвигом
y = f(|x - a|)\quad\text{и}\quad y = |f(x)| + b
В f(|x - a|) сначала постройте f(|x|), затем сдвиньте на a: осью симметрии станет x = a. В |f(x)| + b сначала примените внешний модуль, затем выполните вертикальный сдвиг. Порядок имеет значение.
y = |x - 2| - 1
Сдвигаем y = |x| вправо на 2 и вниз на 1. Вершина: (2; -1); график может лежать ниже Ox, ведь −1 находится вне модуля.
y = \sqrt{|x-2|}
Строим y = \sqrt{|x|} и сдвигаем вправо на 2. Ось симметрии: x = 2.
Модуль у y: две ветви вместо одной
|y| = f(x)
Оставьте только те x, где f(x) \ge 0. Для них постройте y = f(x) и y = -f(x). При f(x) = 0 ветви совпадают. Обычно это уже не график функции y от x: одному x соответствуют два значения y.
|y| = x - 1
Оставляем x \ge 1. Строим две полупрямые y = x - 1 и y = 1 - x. При x = 1 получаем единственную точку с y = 0.
Как сочетать преобразования
y = A f(B(x - h)) + v, A \ne 0, B \ne 0
- Постройте исходный график y = f(x).
- Разделите абсциссы на B и умножьте ординаты на A. Отрицательные коэффициенты добавят отражения.
- Сдвиньте график на h по горизонтали и на v по вертикали.
Универсальное правило для точки: (x_0; y_0) \longrightarrow (h + x_0/B; v + Ay_0). Область определения нового графика задаётся условием B(x - h) \in D(f). Если A = 0 или B = 0, разбирайте выражение отдельно с учётом его области определения.
Пример: y = -2\sqrt{3x-6} + 1
Вынесите 3: 3x - 6 = 3(x - 2). График y = \sqrt{x} сожмите по горизонтали в 3 раза, растяните по вертикали в 2 раза, отразите относительно Ox, сдвиньте вправо на 2 и вверх на 1. Начальная точка (0; 0) перейдёт в (2; 1), точка (3; \sqrt{3}) — в (3; 1 - 2\sqrt{3}). Область определения: x \ge 2.
Частые ошибки: f(x + 2) сдвигается влево; f(2x) сжимается по горизонтали. В |f(x)| отражается нижняя часть, а в f(|x|) копируется правая. Выражения |x| - 2 и |x - 2| задают разные графики.