Задача № 160009. Долг уменьшается на заданный процент
Уровень подготовки: Уровень ЕГЭ
Отложено
В июле 2028 года планируется взять в банке кредит на четыре года в размере 40 млн рублей. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг увеличивается на r % по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; — в июле 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на 25 % меньше долга на июль предыдущего года; — к июлю 2032 года долг должен быть выплачен полностью. Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 61 875 тыс. рублей. Найдите r .
Ответ дайте в процентах.
Решение и ответ
Сначала составим таблицу в буквах. \(k\) = \(1+\frac r{100}\) — коэффициент роста долга, \(S\) — сумма кредита. Числа подставляем после составления уравнения. Денежные суммы в решении — тыс. рублей.
Долю, остающуюся после уменьшения на заданный процент, обозначим \(q\). Остатки: \(S\), \(S q\), \(S q^{2}\) и так далее; в конце 0.
| Период | Долг после процентов | Платёж | Остаток долга |
|---|---|---|---|
| Начало | — | — | \(S\) |
| 1 | \(S k\) | \(S k - S q\) | \(S q\) |
| 2 | \(S k q\) | \(S k q - S q^{2}\) | \(S q^{2}\) |
| 3 | \(S k q^{2}\) | \(S k q^{2} - S q^{3}\) | \(S q^{3}\) |
| 4 | \(S k q^{3}\) | \(S k q^{3}\) | \(0=S k q^{3}-\left(S k q^{3}\right)\) |
Складываем платежи: сумма всех уменьшаемых минус сумма всех вычитаемых. Здесь прогрессии геометрические: \(S k \left(q^{3} + q^{2} + q + 1\right) - S \left(q^{3} + q^{2} + q\right)\).
Подставляем S = 40000, q = 0,75 и приравниваем к сумме из условия:
\(109375 k - 69375\) = \(61875\).
\(k\) = \(\frac{6}{5}\).
Ставка \(100(k-1)\) = 20%.
Проверка после подстановки: сумма всех платежей 61875, начисленные проценты 21875. Последний остаток равен 0; остальные остатки неотрицательны.
Ответ: 20.