Задача № 160053. Выплаты за отдельный календарный год
Уровень подготовки: Уровень ЕГЭ
Отложено
15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму A млн рублей на 60 месяцев. Условия его возврата таковы: – 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2 % по сравнению с концом предыдущего месяца; – со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга; – 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; – к 15 декабря 2031 года кредит должен быть полностью погашен. Чему равно A , если общая сумма платежей в 2027 году составит 2508 тыс. рублей?
Ответ дайте в миллионах рублей.
Решение и ответ
Сначала составим таблицу в буквах. \(k\) = \(1+\frac r{100}\) — коэффициент роста долга, \(S\) — сумма кредита. Числа подставляем после составления уравнения. Денежные суммы в решении — тыс. рублей.
Пусть \(x\) — одинаковое уменьшение долга, \(n\) — число выплат. Тогда S = nx, остатки после выплат: \((n-1)x,\ (n-2)x,\ldots,x,0\).
| Период | Долг после процентов | Платёж | Остаток долга |
|---|---|---|---|
| Начало | — | — | \(n x\) |
| 1 | \(k n x\) | \(k n x - x \left(n - 1\right)\) | \(x \left(n - 1\right)\) |
| 2 | \(k x \left(n - 1\right)\) | \(k x \left(n - 1\right) - x \left(n - 2\right)\) | \(x \left(n - 2\right)\) |
| … | \(\ldots\) | \(\ldots\) | \(\ldots\) |
| n − 1 | \(2 k x\) | \(2 k x - x\) | \(x\) |
| n | \(k x\) | \(k x\) | \(0=k x-\left(k x\right)\) |
Складываем столбец платежей: отдельно все уменьшаемые, отдельно все вычитаемые. Обе последовательности — арифметические прогрессии. Сумма платежей равна разности их сумм.
Первый платёж — январь 2027 года. В указанный календарный год входят платежи с 1-го по 12-й. Номера установлены по датам условия.
Платёж с номером i: \(k(n-i+1)x-(n-i)x\). Для выбранного интервала уменьшаемые идут от \(60 k x\) до \(49 k x\), вычитаемые — от \(59 x\) до \(48 x\). В каждой прогрессии 12 членов. По полусумме крайних членов получаем: \(654 k x - 642 x\).
\(654 k x - 642 x\) = \(2508\).
Подставляем \(k\) = 1,02.
\(x\) = \(100\).
Сумма кредита \(n x\) = 6000 тыс. рублей; делим на 1000 для ответа в миллионах.
Проверка после подстановки: сумма всех платежей 9660, начисленные проценты 3660. Последний остаток равен 0; остальные остатки неотрицательны.
Ответ: 6.