Задача № 160057. Долг уменьшается равномерно
Уровень подготовки: Уровень ЕГЭ
Отложено
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы: — каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; — в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года. На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 7,5 млн рублей?
Ответ дайте в годах.
Решение и ответ
Сначала составим таблицу в буквах. \(k\) = \(1+\frac r{100}\) — коэффициент роста долга, \(S\) — сумма кредита. Числа подставляем после составления уравнения. Денежные суммы в решении — млн рублей.
Пусть \(x\) — одинаковое уменьшение долга, \(n\) — число выплат. Тогда S = nx, остатки после выплат: \((n-1)x,\ (n-2)x,\ldots,x,0\).
| Период | Долг после процентов | Платёж | Остаток долга |
|---|---|---|---|
| Начало | — | — | \(n x\) |
| 1 | \(k n x\) | \(k n x - x \left(n - 1\right)\) | \(x \left(n - 1\right)\) |
| 2 | \(k x \left(n - 1\right)\) | \(k x \left(n - 1\right) - x \left(n - 2\right)\) | \(x \left(n - 2\right)\) |
| … | \(\ldots\) | \(\ldots\) | \(\ldots\) |
| n − 1 | \(2 k x\) | \(2 k x - x\) | \(x\) |
| n | \(k x\) | \(k x\) | \(0=k x-\left(k x\right)\) |
Складываем столбец платежей: отдельно все уменьшаемые, отдельно все вычитаемые. Обе последовательности — арифметические прогрессии. Сумма платежей равна разности их сумм.
Уменьшаемые: от knx до kx; вычитаемые: от (n − 1)x до 0. В каждой прогрессии n членов.
\(\frac{k n x \left(n + 1\right)}{2} - \frac{n x \left(n - 1\right)}{2}\) = \(\frac{15}{2}\).
По условию \(n x\) = 5. Делим на nx:
\(\frac{k \left(n + 1\right)}{2} - \frac{n}{2} + \frac{1}{2}\) = \(\frac{3}{2}\).
Подставляем \(k\) = 1,2.
\(n\) = \(4\).
Проверка после подстановки: сумма всех платежей 7,5, начисленные проценты 2,5. Последний остаток равен 0; остальные остатки неотрицательны.
Ответ: 4.