Задача № 160071. Найти ставку по известным платежам
Уровень подготовки: Уровень ЕГЭ
Отложено
В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг увеличивается на r % по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Если ежегодно выплачивать по 117128 рубля, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 213928 рубля, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите r .
Ответ дайте в процентах.
Решение и ответ
Сначала составим таблицу в буквах. \(k\) = \(1+\frac r{100}\) — коэффициент роста долга, \(S\) — сумма кредита. Числа подставляем после составления уравнения. Денежные суммы в решении — рубли.
Пусть ежегодный платёж за четыре года равен \(a\), за два года — \(b\). В обеих таблицах начальный кредит один и тот же.
| Период | Долг после процентов | Платёж | Остаток долга |
|---|---|---|---|
| Начало | — | — | \(S\) |
| 1 | \(S k\) | \(a\) | \(S k - a\) |
| 2 | \(k \left(S k - a\right)\) | \(a\) | \(S k^{2} - a k - a\) |
| 3 | \(k \left(S k^{2} - a k - a\right)\) | \(a\) | \(S k^{3} - a k^{2} - a k - a\) |
| 4 | \(k \left(S k^{3} - a k^{2} - a k - a\right)\) | \(a\) | \(0=k \left(S k^{3} - a k^{2} - a k - a\right)-\left(a\right)\) |
| Период | Долг после процентов | Платёж | Остаток долга |
|---|---|---|---|
| Начало | — | — | \(S\) |
| 1 | \(S k\) | \(b\) | \(S k - b\) |
| 2 | \(k \left(S k - b\right)\) | \(b\) | \(0=k \left(S k - b\right)-\left(b\right)\) |
\(S\) = \(\frac{a \left(k^{3} + k^{2} + k + 1\right)}{k^{4}}\).
\(S\) = \(\frac{b \left(k + 1\right)}{k^{2}}\).
Приравниваем выражения и сокращаем положительный множитель \(k + 1\):
\(b k^{2}\) = \(a \left(k^{2} + 1\right)\).
Подставляем платежи из условия: 117128 и 213928.
\(213928 k^{2}\) = \(117128 k^{2} + 117128\).
\(k^{2}\) = \(\frac{121}{100}\).
\(k\) = \(\frac{11}{10}\).
Коэффициент роста больше 1; отрицательный корень не подходит. \(r=100(k-1)\) = 10%.
Проверка после подстановки: сумма всех платежей 468512, начисленные проценты 97232. Последний остаток равен 0; остальные остатки неотрицательны.
Ответ: 10.