Задача № 160072. Найти ставку по известным платежам
Уровень подготовки: Уровень ЕГЭ
Отложено
В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 400000 рублей. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг увеличивается на r % по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Найдите r , если известно, что кредит будет полностью погашен за два года, причём в первый год будет выплачено 260000 рублей, а во второй год — 300000 рублей.
Ответ дайте в процентах.
Решение и ответ
Сначала составим таблицу в буквах. \(k\) = \(1+\frac r{100}\) — коэффициент роста долга, \(S\) — сумма кредита. Числа подставляем после составления уравнения. Денежные суммы в решении — тыс. рублей.
Известные первый и последний платежи обозначим a и b. Последний платёж равен всему долгу с процентами.
| Период | Долг после процентов | Платёж | Остаток долга |
|---|---|---|---|
| Начало | — | — | \(S\) |
| 1 | \(S k\) | \(a\) | \(S k - a\) |
| 2 | \(k \left(S k - a\right)\) | \(k \left(S k - a\right)\) | \(0=k \left(S k - a\right)-\left(k \left(S k - a\right)\right)\) |
\(k \left(S k - a\right)\) = \(b\).
Подставляем заданные S = 400, a = 260, b = 300 (тыс. рублей):
\(k \left(400 k - 260\right)\) = \(300\).
\(20 \left(4 k - 5\right) \left(5 k + 3\right)\) = \(0\).
\(k\) = \(\frac{5}{4}\).
Из k > 1 подходит k = 1,25. Ставка \(100(k-1)\) = 25%.
Проверка после подстановки: сумма всех платежей 560, начисленные проценты 160. Последний остаток равен 0; остальные остатки неотрицательны.
Ответ: 25.