Задача № 160077. Два этапа уменьшения долга
Уровень подготовки: Уровень ЕГЭ
Отложено
В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет в размере 2600 тыс. рублей. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг будет возрастать на 20 % по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга; — в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; — в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; — к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью. Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 5160 тыс. рублей. Сколько рублей составит долг в июле 2030 года?
Ответ дайте в тысячах рублей.
Решение и ответ
Сначала составим таблицу в буквах. \(k\) = \(1+\frac r{100}\) — коэффициент роста долга, \(S\) — сумма кредита. Числа подставляем после составления уравнения. Денежные суммы в решении — тыс. рублей.
Уменьшения на первом и втором этапах обозначим \(x\) и \(y\). На каждом этапе по \(m\) выплат. S = mx + my, после первого этапа остаётся \(m y\).
| Период | Долг после процентов | Платёж | Остаток долга |
|---|---|---|---|
| Начало | — | — | \(m \left(x + y\right)\) |
| 1 | \(k m \left(x + y\right)\) | \(k m \left(x + y\right) - \left(m y + x \left(m - 1\right)\right)\) | \(m y + x \left(m - 1\right)\) |
| … | \(\ldots\) | \(\ldots\) | \(\ldots\) |
| m | \(k \left(m y + x\right)\) | \(k \left(m y + x\right) - m y\) | \(m y\) |
| m + 1 | \(k m y\) | \(k m y - y \left(m - 1\right)\) | \(y \left(m - 1\right)\) |
| … | \(\ldots\) | \(\ldots\) | \(\ldots\) |
| 2m | \(k y\) | \(k y\) | \(0=k y-\left(k y\right)\) |
На каждом этапе отдельно складываем уменьшаемые и вычитаемые в столбце платежей как две арифметические прогрессии по m членов. Сумма платежей первого этапа: \(\frac{k m \left(m y + m \left(x + y\right) + x\right)}{2} + \frac{m \left(- 2 m y - x \left(m - 1\right)\right)}{2}\). Второго этапа: \(\frac{m y \left(1 - m\right)}{2} + \frac{m \left(k m y + k y\right)}{2}\). Складываем результаты:
\(\left(\frac{k m \left(m y + m \left(x + y\right) + x\right)}{2} + \frac{m \left(- 2 m y - x \left(m - 1\right)\right)}{2}\right) + \left(\frac{m y \left(1 - m\right)}{2} + \frac{m \left(k m y + k y\right)}{2}\right)\) = \(5160\).
Подставляем \(m\) = 5 и \(k\) = 1,2. Второе уравнение получаем из начального кредита:
\(5 x + 5 y\) = \(2600\).
\(8 x + 13 y\) = \(5160\).
\(x\) = \(320\).
\(y\) = \(200\).
Искомая величина: \(m y\) = 1000.
Проверка после подстановки: сумма всех платежей 5160, начисленные проценты 2560. Последний остаток равен 0; остальные остатки неотрицательны.
Ответ: 1000.