Задача № 160018. Первые годы — только проценты
Уровень подготовки: Уровень ЕГЭ
Отложено
В июле 2026 года планируется взять кредит на пять лет в размере 1050 тыс. рублей. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; — в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным 1050 тыс. рублей; — выплаты в 2030 и 2031 годах равны; — к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью. На сколько рублей последняя выплата будет больше первой?
Ответ дайте в рублях.
Решение и ответ
Сначала составим таблицу в буквах. \(k\) = \(1+\frac r{100}\) — коэффициент роста долга, \(S\) — сумма кредита. Числа подставляем после составления уравнения. Денежные суммы в решении — тыс. рублей.
Первые три года долг не меняется: платёж равен \(S \left(k - 1\right)\). Последние два одинаковых платежа обозначим \(x\).
| Период | Долг после процентов | Платёж | Остаток долга |
|---|---|---|---|
| Начало | — | — | \(S\) |
| 1 | \(S k\) | \(S k - S\) | \(S\) |
| 2 | \(S k\) | \(S k - S\) | \(S\) |
| 3 | \(S k\) | \(S k - S\) | \(S\) |
| 4 | \(S k\) | \(x\) | \(S k - x\) |
| 5 | \(k \left(S k - x\right)\) | \(x\) | \(0=k \left(S k - x\right)-\left(x\right)\) |
\(k \left(S k - x\right) - x\) = \(0\).
\(x\) = \(\frac{S k^{2}}{k + 1}\).
Сумма пяти платежей: \(\frac{2 S k^{2}}{k + 1} + S \left(3 k - 3\right)\).
Подставляем \(S\) = 1050, \(k\) = 1,1.
\(x\) = \(605\).
Разница последнего и первого платежей: \(- S \left(k - 1\right) + x\) = 500 тыс. рублей.
Проверка после подстановки: сумма всех платежей 1525, начисленные проценты 475. Последний остаток равен 0; остальные остатки неотрицательны.
Искомую денежную величину переводим из тысяч рублей в рубли: умножаем на 1000.
Ответ: 500000.