Задача № 160023. Первые годы — только проценты
Уровень подготовки: Уровень ЕГЭ
Отложено
Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 20 % по сравнению с началом года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика будет меньше 7 млн рублей.
Ответ дайте в миллионах рублей.
Решение и ответ
Сначала составим таблицу в буквах. \(k\) = \(1+\frac r{100}\) — коэффициент роста долга, \(S\) — сумма кредита. Числа подставляем после составления уравнения. Денежные суммы в решении — млн рублей.
Первые три года долг не меняется: платёж равен \(S \left(k - 1\right)\). Последние два одинаковых платежа обозначим \(x\).
| Период | Долг после процентов | Платёж | Остаток долга |
|---|---|---|---|
| Начало | — | — | \(S\) |
| 1 | \(S k\) | \(S k - S\) | \(S\) |
| 2 | \(S k\) | \(S k - S\) | \(S\) |
| 3 | \(S k\) | \(S k - S\) | \(S\) |
| 4 | \(S k\) | \(x\) | \(S k - x\) |
| 5 | \(k \left(S k - x\right)\) | \(x\) | \(0=k \left(S k - x\right)-\left(x\right)\) |
\(k \left(S k - x\right) - x\) = \(0\).
\(x\) = \(\frac{S k^{2}}{k + 1}\).
Сумма пяти платежей: \(\frac{2 S k^{2}}{k + 1} + S \left(3 k - 3\right)\).
По условию сумма выплат меньше 7: \(\frac{2 S k^{2}}{k + 1} + S \left(3 k - 3\right)\) < 7. Подставляем \(k\) = 1,2.
\(S\) < \(\frac{11}{3}\). Наибольшее целое значение 3. Для следующего целого сумма выплат уже не меньше границы.
Проверка после подстановки: сумма всех платежей 63/11, начисленные проценты 30/11. Последний остаток равен 0; остальные остатки неотрицательны.
Ответ: 3.