Задача № 160027. Все платежи равны
Уровень подготовки: Уровень ЕГЭ
Отложено
В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг увеличивается на 20 % по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма платежей после полного погашения кредита должна быть на 77 200 рублей больше суммы, взятой в кредит?
Ответ дайте в рублях.
Решение и ответ
Сначала составим таблицу в буквах. \(k\) = \(1+\frac r{100}\) — коэффициент роста долга, \(S\) — сумма кредита. Числа подставляем после составления уравнения. Денежные суммы в решении — рубли.
Все платежи равны \(x\).
| Период | Долг после процентов | Платёж | Остаток долга |
|---|---|---|---|
| Начало | — | — | \(S\) |
| 1 | \(S k\) | \(x\) | \(S k - x\) |
| 2 | \(k \left(S k - x\right)\) | \(x\) | \(S k^{2} - k x - x\) |
| 3 | \(k \left(S k^{2} - k x - x\right)\) | \(x\) | \(0=k \left(S k^{2} - k x - x\right)-\left(x\right)\) |
Из последнего нулевого остатка, или обратным ходом по таблице:
\(S\) = \(x \left(\frac{1}{k} + \frac{1}{k^{2}} + \frac{1}{k^{3}}\right)\).
Число платежей: 3. Сумма всех платежей равна \(3 x\).
По условию дана переплата:
\(- S + 3 x\) = \(77200\).
Заменяем S выражением из таблицы:
\(x \left(3 - \frac{1}{k} - \frac{1}{k^{2}} - \frac{1}{k^{3}}\right)\) = \(77200\).
Теперь \(k\) = 1,2.
\(x\) = \(86400\).
\(S\) = \(182000\).
Проверка после подстановки: сумма всех платежей 259200, начисленные проценты 77200. Последний остаток равен 0; остальные остатки неотрицательны.
Ответ: 182000.