Задача № 160030. Все платежи равны
Уровень подготовки: Уровень ЕГЭ
Отложено
В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 419 375 рублей. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?
Ответ дайте в рублях.
Решение и ответ
Сначала составим таблицу в буквах. \(k\) = \(1+\frac r{100}\) — коэффициент роста долга, \(S\) — сумма кредита. Числа подставляем после составления уравнения. Денежные суммы в решении — рубли.
Все платежи равны \(x\).
| Период | Долг после процентов | Платёж | Остаток долга |
|---|---|---|---|
| Начало | — | — | \(S\) |
| 1 | \(S k\) | \(x\) | \(S k - x\) |
| 2 | \(k \left(S k - x\right)\) | \(x\) | \(S k^{2} - k x - x\) |
| 3 | \(k \left(S k^{2} - k x - x\right)\) | \(x\) | \(S k^{3} - k^{2} x - k x - x\) |
| 4 | \(k \left(S k^{3} - k^{2} x - k x - x\right)\) | \(x\) | \(0=k \left(S k^{3} - k^{2} x - k x - x\right)-\left(x\right)\) |
Из последнего нулевого остатка, или обратным ходом по таблице:
\(S\) = \(x \left(\frac{1}{k} + \frac{1}{k^{2}} + \frac{1}{k^{3}} + \frac{1}{k^{4}}\right)\).
Число платежей: 4. Сумма всех платежей равна \(4 x\).
Подставляем заданный кредит 419375 и \(k\) = 1,2.
\(x\) = \(162000\).
Сумма всех платежей: 648000.
Проверка после подстановки: сумма всех платежей 648000, начисленные проценты 228625. Последний остаток равен 0; остальные остатки неотрицательны.
Ответ: 648000.