Задача № 160033. Все платежи равны
Уровень подготовки: Уровень ЕГЭ
Отложено
В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита на 104 800 рублей больше суммы, взятой в кредит?
Ответ дайте в рублях.
Решение и ответ
Сначала составим таблицу в буквах. \(k\) = \(1+\frac r{100}\) — коэффициент роста долга, \(S\) — сумма кредита. Числа подставляем после составления уравнения. Денежные суммы в решении — рубли.
Все платежи равны \(x\).
| Период | Долг после процентов | Платёж | Остаток долга |
|---|---|---|---|
| Начало | — | — | \(S\) |
| 1 | \(S k\) | \(x\) | \(S k - x\) |
| 2 | \(k \left(S k - x\right)\) | \(x\) | \(S k^{2} - k x - x\) |
| 3 | \(k \left(S k^{2} - k x - x\right)\) | \(x\) | \(0=k \left(S k^{2} - k x - x\right)-\left(x\right)\) |
Из последнего нулевого остатка, или обратным ходом по таблице:
\(S\) = \(x \left(\frac{1}{k} + \frac{1}{k^{2}} + \frac{1}{k^{3}}\right)\).
Число платежей: 3. Сумма всех платежей равна \(3 x\).
По условию дана переплата:
\(- S + 3 x\) = \(104800\).
Заменяем S выражением из таблицы:
\(x \left(3 - \frac{1}{k} - \frac{1}{k^{2}} - \frac{1}{k^{3}}\right)\) = \(104800\).
Теперь \(k\) = 1,25.
\(x\) = \(100000\).
\(S\) = \(195200\).
Сумма всех платежей: 300000.
Проверка после подстановки: сумма всех платежей 300000, начисленные проценты 104800. Последний остаток равен 0; остальные остатки неотрицательны.
Ответ: 300000.