Задача № 160047. Равномерное уменьшение и последний платёж
Уровень подготовки: Уровень ЕГЭ
Отложено
15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 900 тысяч рублей на 11 месяцев. Условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца; — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — 15-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; — 15-го числа 10-го месяца долг составит 200 тысяч рублей; — к 15-му числу 11-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Найдите r , если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1021 тысячу рублей.
Ответ дайте в процентах.
Решение и ответ
Сначала составим таблицу в буквах. \(k\) = \(1+\frac r{100}\) — коэффициент роста долга, \(S\) — сумма кредита. Числа подставляем после составления уравнения. Денежные суммы в решении — тыс. рублей.
Пусть первые \(n\) уменьшений равны \(x\), затем остаётся \(R\). S = nx + R. Последний отдельный платёж равен \(R k\).
| Период | Долг после процентов | Платёж | Остаток долга |
|---|---|---|---|
| Начало | — | — | \(R + n x\) |
| 1 | \(k \left(R + n x\right)\) | \(k \left(R + n x\right) - \left(R + x \left(n - 1\right)\right)\) | \(R + x \left(n - 1\right)\) |
| 2 | \(k \left(R + x \left(n - 1\right)\right)\) | \(k \left(R + x \left(n - 1\right)\right) - \left(R + x \left(n - 2\right)\right)\) | \(R + x \left(n - 2\right)\) |
| … | \(\ldots\) | \(\ldots\) | \(\ldots\) |
| n | \(k \left(R + x\right)\) | \(k \left(R + x\right) - R\) | \(R\) |
| n + 1 | \(R k\) | \(R k\) | \(0=R k-\left(R k\right)\) |
Складываем платежи как разности. Уменьшаемые — прогрессия от k(nx + R) до kR, всего n + 1 членов. Вычитаемые первых n строк — прогрессия от (n − 1)x + R до R; последний вычитаемый равен 0 и учитывается отдельно. По полусумме крайних членов:
\(\frac{n \left(- 2 R - x \left(n - 1\right)\right)}{2} + \frac{\left(n + 1\right) \left(R k + k \left(R + n x\right)\right)}{2}\) = \(1021\).
Из заданных S и R:
\(x\) = \(70\).
Подставляем n = 10, x = 70, R = 200:
\(6050 k - 5150\) = \(1021\).
\(k\) = \(\frac{51}{50}\).
Ставка \(100(k-1)\) = 2%.
Проверка после подстановки: сумма всех платежей 1021, начисленные проценты 121. Последний остаток равен 0; остальные остатки неотрицательны.
Ответ: 2.