Задача № 160048. Равномерное уменьшение и последний платёж
Уровень подготовки: Уровень ЕГЭ
Отложено
15 декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1100 тысяч рублей на 16 месяцев. Условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг будет возрастать на r % по сравнению с концом предыдущего месяца ( r — целое число); — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга; — 15-го числа каждого месяца с 1-го по 15-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; — 15-го числа 15-го месяца долг должен быть равен 500 тысяч рублей; — к 15-му числу 16-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Найдите r , если известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет составлять 1228 тысяч рублей.
Ответ дайте в процентах.
Решение и ответ
Сначала составим таблицу в буквах. \(k\) = \(1+\frac r{100}\) — коэффициент роста долга, \(S\) — сумма кредита. Числа подставляем после составления уравнения. Денежные суммы в решении — тыс. рублей.
Пусть первые \(n\) уменьшений равны \(x\), затем остаётся \(R\). S = nx + R. Последний отдельный платёж равен \(R k\).
| Период | Долг после процентов | Платёж | Остаток долга |
|---|---|---|---|
| Начало | — | — | \(R + n x\) |
| 1 | \(k \left(R + n x\right)\) | \(k \left(R + n x\right) - \left(R + x \left(n - 1\right)\right)\) | \(R + x \left(n - 1\right)\) |
| 2 | \(k \left(R + x \left(n - 1\right)\right)\) | \(k \left(R + x \left(n - 1\right)\right) - \left(R + x \left(n - 2\right)\right)\) | \(R + x \left(n - 2\right)\) |
| … | \(\ldots\) | \(\ldots\) | \(\ldots\) |
| n | \(k \left(R + x\right)\) | \(k \left(R + x\right) - R\) | \(R\) |
| n + 1 | \(R k\) | \(R k\) | \(0=R k-\left(R k\right)\) |
Складываем платежи как разности. Уменьшаемые — прогрессия от k(nx + R) до kR, всего n + 1 членов. Вычитаемые первых n строк — прогрессия от (n − 1)x + R до R; последний вычитаемый равен 0 и учитывается отдельно. По полусумме крайних членов:
\(\frac{n \left(- 2 R - x \left(n - 1\right)\right)}{2} + \frac{\left(n + 1\right) \left(R k + k \left(R + n x\right)\right)}{2}\) = \(1228\).
Из заданных S и R:
\(x\) = \(40\).
Подставляем n = 15, x = 40, R = 500:
\(12800 k - 11700\) = \(1228\).
\(k\) = \(\frac{101}{100}\).
Ставка \(100(k-1)\) = 1%.
Проверка после подстановки: сумма всех платежей 1228, начисленные проценты 128. Последний остаток равен 0; остальные остатки неотрицательны.
Ответ: 1.