Задача № 160070. Первые годы — только проценты
Уровень подготовки: Уровень ЕГЭ
Отложено
В июле 2026 года планируется взять кредит на пять лет в размере 13,2 млн рублей. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг возрастает на r процентов по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; — в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным 13,2 млн рублей; — суммы выплат в 2030 и 2031 годах равны. Найдите r , если известно, что долг будет выплачен полностью и общий размер выплат составит 25,2 млн рублей.
Ответ дайте в процентах.
Решение и ответ
Сначала составим таблицу в буквах. \(k\) = \(1+\frac r{100}\) — коэффициент роста долга, \(S\) — сумма кредита. Числа подставляем после составления уравнения. Денежные суммы в решении — млн рублей.
Первые три года долг не меняется: платёж равен \(S \left(k - 1\right)\). Последние два одинаковых платежа обозначим \(x\).
| Период | Долг после процентов | Платёж | Остаток долга |
|---|---|---|---|
| Начало | — | — | \(S\) |
| 1 | \(S k\) | \(S k - S\) | \(S\) |
| 2 | \(S k\) | \(S k - S\) | \(S\) |
| 3 | \(S k\) | \(S k - S\) | \(S\) |
| 4 | \(S k\) | \(x\) | \(S k - x\) |
| 5 | \(k \left(S k - x\right)\) | \(x\) | \(0=k \left(S k - x\right)-\left(x\right)\) |
\(k \left(S k - x\right) - x\) = \(0\).
\(x\) = \(\frac{S k^{2}}{k + 1}\).
Сумма пяти платежей: \(\frac{2 S k^{2}}{k + 1} + S \left(3 k - 3\right)\).
Подставляем заданный кредит 13,2 и сумму платежей 25,2.
\(\frac{132 k^{2}}{5 \left(k + 1\right)} + \frac{198 k}{5} - \frac{198}{5}\) = \(\frac{126}{5}\).
\(6 \left(5 k - 6\right) \left(11 k + 9\right)\) = \(0\).
\(k\) = \(\frac{6}{5}\).
Выбираем корень \(k\) > 1. Ставка \(100(k-1)\) = 20%.
Проверка после подстановки: сумма всех платежей 25,2, начисленные проценты 12. Последний остаток равен 0; остальные остатки неотрицательны.
Ответ: 20.