Задача № 160001. Остатки долга заданы в условии
Уровень подготовки: Уровень ЕГЭ
Отложено
В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн рублей, где S — целое число. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг увеличивается на 15 % по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; — в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
| Дата | Июль 2016 | Июль 2017 | Июль 2018 | Июль 2019 |
|---|---|---|---|---|
| Долг, млн рублей | S | 0,8S | 0,5S | 0 |
Найдите наибольшее значение S , при котором каждая из выплат будет меньше 4 млн рублей.
Ответ дайте в миллионах рублей.
Решение и ответ
Сначала составим таблицу в буквах. \(k\) = \(1+\frac r{100}\) — коэффициент роста долга, \(S\) — сумма кредита. Числа подставляем после составления уравнения. Денежные суммы в решении — млн рублей.
Доли остатков обозначим \(a\), \(b\). Сначала найдём платежи в буквах.
| Период | Долг после процентов | Платёж | Остаток долга |
|---|---|---|---|
| Начало | — | — | \(S\) |
| 1 | \(S k\) | \(S k - S a\) | \(S a\) |
| 2 | \(S a k\) | \(S a k - S b\) | \(S b\) |
| 3 | \(S b k\) | \(S b k\) | \(0=S b k-\left(S b k\right)\) |
Каждый платёж меньше 4. При S > 0 достаточно ограничить наибольший коэффициент при S.
Подставляем k = 1,15, a = 0,8, b = 0,5. Коэффициенты: 0,35, 0,42, 0,575.
\(S\) < \(\frac{160}{23}\). Наибольшее целое 6. Соседнее целое 7 уже нарушает условие.
Проверка после подстановки: сумма всех платежей 8,07, начисленные проценты 2,07. Последний остаток равен 0; остальные остатки неотрицательны.
Ответ: 6.