Задача № 160003. Остатки долга заданы в условии
Уровень подготовки: Уровень ЕГЭ
Отложено
15 января планируется взять кредит в банке на 4 месяца. Условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на целое число r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца; — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом выплатить часть долга; — 15-го числа каждого месяца долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
| Дата | 15.01 | 15.02 | 15.03 | 15.04 | 15.05 |
|---|---|---|---|---|---|
| Долг в процентах от кредита | 100% | 80% | 60% | 40% | 0% |
Найдите наименьшее значение r , при котором сумма всех платежей будет превышать кредит больше чем на 30 %.
Ответ дайте в процентах.
Решение и ответ
Сначала составим таблицу в буквах. \(k\) = \(1+\frac r{100}\) — коэффициент роста долга, \(S\) — сумма кредита. Числа подставляем после составления уравнения. Денежные суммы в решении — условные денежные единицы.
Доли остатков обозначим \(a\), \(b\), \(c\). Сначала найдём платежи в буквах.
| Период | Долг после процентов | Платёж | Остаток долга |
|---|---|---|---|
| Начало | — | — | \(S\) |
| 1 | \(S k\) | \(S k - S a\) | \(S a\) |
| 2 | \(S a k\) | \(S a k - S b\) | \(S b\) |
| 3 | \(S b k\) | \(S b k - S c\) | \(S c\) |
| 4 | \(S c k\) | \(S c k\) | \(0=S c k-\left(S c k\right)\) |
Переплата в долях кредита: \(\left(k - 1\right) \left(a + b + c + 1\right)\). По условию она больше 0,3.
Подставляем только заданные доли: \(\frac{14 k}{5} - \frac{14}{5}\) > 0,3. Так как \(k-1=r/100\), получаем r > \(\frac{75}{7}\).
Ставка r целая: минимально 11%. Предыдущее целое значение условию не удовлетворяет.
Для численной проверки можно выбрать условный кредит S = 100: искомая ставка не зависит от размера кредита.
Проверка после подстановки: сумма всех платежей 130,8, начисленные проценты 30,8. Последний остаток равен 0; остальные остатки неотрицательны.
Ответ: 11.