Задача № 160002. Остатки долга заданы в условии
Уровень подготовки: Уровень ЕГЭ
Отложено
В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн рублей, где S — целое число. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг увеличивается на 30 % по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; — в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
| Дата | Июль 2016 | Июль 2017 | Июль 2018 | Июль 2019 |
|---|---|---|---|---|
| Долг, млн рублей | S | 0,6S | 0,25S | 0 |
Найдите наибольшее значение S , при котором каждая из выплат будет меньше 5 млн рублей.
Ответ дайте в миллионах рублей.
Решение и ответ
Сначала составим таблицу в буквах. \(k\) = \(1+\frac r{100}\) — коэффициент роста долга, \(S\) — сумма кредита. Числа подставляем после составления уравнения. Денежные суммы в решении — млн рублей.
Доли остатков обозначим \(a\), \(b\). Сначала найдём платежи в буквах.
| Период | Долг после процентов | Платёж | Остаток долга |
|---|---|---|---|
| Начало | — | — | \(S\) |
| 1 | \(S k\) | \(S k - S a\) | \(S a\) |
| 2 | \(S a k\) | \(S a k - S b\) | \(S b\) |
| 3 | \(S b k\) | \(S b k\) | \(0=S b k-\left(S b k\right)\) |
Каждый платёж меньше 5. При S > 0 достаточно ограничить наибольший коэффициент при S.
Подставляем k = 1,3, a = 0,6, b = 0,25. Коэффициенты: 0,7, 0,53, 0,325.
\(S\) < \(\frac{50}{7}\). Наибольшее целое 7. Соседнее целое 8 уже нарушает условие.
Проверка после подстановки: сумма всех платежей 10,885, начисленные проценты 3,885. Последний остаток равен 0; остальные остатки неотрицательны.
Ответ: 7.