Задача № 160013. Два первых платежа равны
Уровень подготовки: Уровень ЕГЭ
Отложено
В июле 2026 года планируется взять кредит на три года в размере 900 тыс. рублей. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг будет возрастать на 30 % по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; — платежи в 2027 и 2028 годах должны быть равными; — к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью. Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 1482,3 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж 2029 года?
Ответ дайте в рублях.
Решение и ответ
Сначала составим таблицу в буквах. \(k\) = \(1+\frac r{100}\) — коэффициент роста долга, \(S\) — сумма кредита. Числа подставляем после составления уравнения. Денежные суммы в решении — тыс. рублей.
Первые два платежа обозначим \(x\). Последний платёж равен всему долгу после процентов, поэтому в последней строке два денежных столбца совпадают.
| Период | Долг после процентов | Платёж | Остаток долга |
|---|---|---|---|
| Начало | — | — | \(S\) |
| 1 | \(S k\) | \(x\) | \(S k - x\) |
| 2 | \(k \left(S k - x\right)\) | \(x\) | \(S k^{2} - k x - x\) |
| 3 | \(k \left(S k^{2} - x \left(k + 1\right)\right)\) | \(k \left(S k^{2} - x \left(k + 1\right)\right)\) | \(0=k \left(S k^{2} - x \left(k + 1\right)\right)-\left(k \left(S k^{2} - x \left(k + 1\right)\right)\right)\) |
Складываем три платежа и приравниваем к сумме из условия:
\(S k^{3} - x \left(k^{2} + k\right) + 2 x\) = \(\frac{14823}{10}\).
Подставляем \(k\) = 1,3, \(S\) = 900.
\(\frac{19773}{10} - \frac{99 x}{100}\) = \(\frac{14823}{10}\).
\(x\) = \(500\).
Искомый последний платёж:
\(\frac{4823}{10}\) = \(\frac{4823}{10}\).
Проверка после подстановки: сумма всех платежей 1482,3, начисленные проценты 582,3. Последний остаток равен 0; остальные остатки неотрицательны.
Искомую денежную величину переводим из тысяч рублей в рубли: умножаем на 1000.
Ответ: 482300.