Задача № 160016. Два первых платежа равны
Уровень подготовки: Уровень ЕГЭ
Отложено
В июле 2026 года планируется взять кредит на три года в размере 900 тыс. рублей. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг будет возрастать на 20 % по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; — платежи в 2027 и 2028 годах должны быть равными; — к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью. Известно, что платёж в 2029 году составит 1027,2 тыс. рублей. Найдите сумму всех платежей после полного погашения кредита.
Ответ дайте в тысячах рублей.
Решение и ответ
Сначала составим таблицу в буквах. \(k\) = \(1+\frac r{100}\) — коэффициент роста долга, \(S\) — сумма кредита. Числа подставляем после составления уравнения. Денежные суммы в решении — тыс. рублей.
Первые два платежа обозначим \(x\). Последний платёж равен всему долгу после процентов, поэтому в последней строке два денежных столбца совпадают.
| Период | Долг после процентов | Платёж | Остаток долга |
|---|---|---|---|
| Начало | — | — | \(S\) |
| 1 | \(S k\) | \(x\) | \(S k - x\) |
| 2 | \(k \left(S k - x\right)\) | \(x\) | \(S k^{2} - k x - x\) |
| 3 | \(k \left(S k^{2} - x \left(k + 1\right)\right)\) | \(k \left(S k^{2} - x \left(k + 1\right)\right)\) | \(0=k \left(S k^{2} - x \left(k + 1\right)\right)-\left(k \left(S k^{2} - x \left(k + 1\right)\right)\right)\) |
Последний платёж задан в условии:
\(S k^{3} - x \left(k^{2} + k\right)\) = \(\frac{5136}{5}\).
Подставляем \(k\) = 1,2, \(S\) = 900.
\(\frac{7776}{5} - \frac{66 x}{25}\) = \(\frac{5136}{5}\).
\(x\) = \(200\).
Сумма платежей: 1427,2.
Проверка после подстановки: сумма всех платежей 1427,2, начисленные проценты 527,2. Последний остаток равен 0; остальные остатки неотрицательны.
Ответ: 1427,2.