Задача № 160049. Равномерное уменьшение и последний платёж
Уровень подготовки: Уровень ЕГЭ
Отложено
15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 600 тысяч рублей на ( n + 1 ) месяц. Условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца; — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — 15-го числа каждого месяца с 1-го по n -й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; — 15-го числа n -го месяца долг составит 200 тысяч рублей; — к 15-му числу ( n + 1 ) -го месяца кредит должен быть полностью погашен. Найдите n , если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 852 тысячи рублей.
Ответ дайте в месяцах (значение n).
Решение и ответ
Сначала составим таблицу в буквах. \(k\) = \(1+\frac r{100}\) — коэффициент роста долга, \(S\) — сумма кредита. Числа подставляем после составления уравнения. Денежные суммы в решении — тыс. рублей.
Пусть первые \(n\) уменьшений равны \(x\), затем остаётся \(R\). S = nx + R. Последний отдельный платёж равен \(R k\).
| Период | Долг после процентов | Платёж | Остаток долга |
|---|---|---|---|
| Начало | — | — | \(R + n x\) |
| 1 | \(k \left(R + n x\right)\) | \(k \left(R + n x\right) - \left(R + x \left(n - 1\right)\right)\) | \(R + x \left(n - 1\right)\) |
| 2 | \(k \left(R + x \left(n - 1\right)\right)\) | \(k \left(R + x \left(n - 1\right)\right) - \left(R + x \left(n - 2\right)\right)\) | \(R + x \left(n - 2\right)\) |
| … | \(\ldots\) | \(\ldots\) | \(\ldots\) |
| n | \(k \left(R + x\right)\) | \(k \left(R + x\right) - R\) | \(R\) |
| n + 1 | \(R k\) | \(R k\) | \(0=R k-\left(R k\right)\) |
Складываем платежи как разности. Уменьшаемые — прогрессия от k(nx + R) до kR, всего n + 1 членов. Вычитаемые первых n строк — прогрессия от (n − 1)x + R до R; последний вычитаемый равен 0 и учитывается отдельно. По полусумме крайних членов:
\(\frac{n \left(- 2 R - x \left(n - 1\right)\right)}{2} + \frac{\left(n + 1\right) \left(R k + k \left(R + n x\right)\right)}{2}\) = \(852\).
При неизвестном n удобнее заменить nx на S − R:
\(\frac{k \left(R + S\right) \left(n + 1\right)}{2} + \frac{n \left(- 2 R - \frac{\left(- R + S\right) \left(n - 1\right)}{n}\right)}{2}\) = \(852\).
Теперь подставляем заданные S, R и k:
\(\frac{n \left(-400 - \frac{400 \left(n - 1\right)}{n}\right)}{2} + 412 n + 412\) = \(852\).
\(n\) = \(20\).
\(x\) = \(20\).
Проверка после подстановки: сумма всех платежей 852, начисленные проценты 252. Последний остаток равен 0; остальные остатки неотрицательны.
Ответ: 20.