Задача № 160063. Два первых платежа равны
Уровень подготовки: Уровень ЕГЭ
Отложено
В июле 2026 года планируется взять кредит на три года. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг будет возрастать на 20 % по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; — платежи в 2027 и в 2028 годах должны быть по 1000 тыс. рублей; — к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью. Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита равна 2470,4 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?
Ответ дайте в тысячах рублей.
Решение и ответ
Сначала составим таблицу в буквах. \(k\) = \(1+\frac r{100}\) — коэффициент роста долга, \(S\) — сумма кредита. Числа подставляем после составления уравнения. Денежные суммы в решении — тыс. рублей.
Первые два платежа обозначим \(x\). Последний платёж равен всему долгу после процентов, поэтому в последней строке два денежных столбца совпадают.
| Период | Долг после процентов | Платёж | Остаток долга |
|---|---|---|---|
| Начало | — | — | \(S\) |
| 1 | \(S k\) | \(x\) | \(S k - x\) |
| 2 | \(k \left(S k - x\right)\) | \(x\) | \(S k^{2} - k x - x\) |
| 3 | \(k \left(S k^{2} - x \left(k + 1\right)\right)\) | \(k \left(S k^{2} - x \left(k + 1\right)\right)\) | \(0=k \left(S k^{2} - x \left(k + 1\right)\right)-\left(k \left(S k^{2} - x \left(k + 1\right)\right)\right)\) |
Складываем три платежа и приравниваем к сумме из условия:
\(S k^{3} - x \left(k^{2} + k\right) + 2 x\) = \(\frac{12352}{5}\).
Подставляем \(k\) = 1,2, \(x\) = 1000.
\(\frac{216 S}{125} - 640\) = \(\frac{12352}{5}\).
\(S\) = \(1800\).
Проверка после подстановки: сумма всех платежей 2470,4, начисленные проценты 670,4. Последний остаток равен 0; остальные остатки неотрицательны.
Ответ: 1800.